Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.
Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,
а) в интеграле
числительx
похож на производную от
:
;
б) интеграл
можно представить как
,
где
;
в) функция
в интеграле
–
это
.
Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов
а) если
,
то
,
тогда
и
,
откуда
б) поскольку
,
то
,
тогда
и
,
поэтому
Более подробно метод замены изложен в § 4.
Однако вычисление
3-го интеграла при помощи замены уже
связано с трудностями. Пусть, заметив,
что
,
мы заменили
.
Тогда
и
.
Выразить
черезt
можно так:
(
,
поэтому
).
Подставим:
В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.
Действительно, есть более короткое решение:
тогда, заменив
,
сразу получаем интеграл
Таким же образом можно было найти интегралы
Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая
Таблица основных дифференциалов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.Примеры подведения под знак дифференциала
3) ;
ПД1. Найдите интегралы
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
;
к)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
;
з)
; и)
; к)
.
§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
При интегрировании
функций, содержащих выражение
,
поможет формула
.
Например,
б)
;
Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).
Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:
,
а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,
Цель замены –
перейти к интегралу без линейного
слагаемого
,
поскольку интегралы, содержащие только
,
находятся проще, и часто – по таблице.
При этом важно помнить, что
,
,
и т.п.
А именно (см. § 2),
где a
– любое число, и число
.
Кроме того, при
где
.
Замечание 1.
После замены часто появляются интегралы
,
или
.
Их можно найти так:
аналогично во 2-м и в 3-м случае.
Однако интегралы
вида
достаточно сложны. Воспользуйтесь
готовыми формулами
(проверьте дифференцированием, что это действительно так).
КИ1.
Найдите при помощи равенства
и замены
:
Пример 1
(для
краткости
обозначено как
.
При поиске
и
учли, что
и
соответственно, и применили основное
правило табличного интегрирования.
КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:
Пример 2.
Найдём интеграл 
,
разложив на сумму двух:
Ответ:
(модуль не нужен, поскольку всегда
).
Пример 3.
Возьмём таким же образом интеграл 
:
Рациональнее всего найти интегралы так:
где учли, что
;
Тогда
,
где
.
Ответ: .
Замечание 2.
В дальнейшем часто придётся разбивать
интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом
из которых появляется константа (
,
и т.д.). Для краткости будем подразумевать
(но не указывать) константы в каждом
отдельном вспомогательном интеграле
(или указывать, но не сопровождать
номером), а записывать будем лишь общую
константуC
в ответе. При этом всегда C
– некая линейная комбинация
.
КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите
Пример 4.
Заметив, что
заменяем
,
тогда
и.
Подставим в интеграл:
Пример 5.
Поскольку
,
можно сделать замену
,
при которой
и
.
Подставим:
Пример 6.
Здесь
,
заменяем
,
откуда
и
.
Подставим:
где
.
Разобьём интеграл на два:
.
Так же, как в предыдущих примерах,
а 2-й интеграл –
табличный:
.
Итак,
,
где
.
Тем самым
Пример 7.
Теперь
,
замена
,
поэтому
и
.
Переходим к интегралу от новой переменной:
где
.
Найдём отдельно
в)
(табличный интеграл).
Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:
КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:
Пример 8.
Найдём
.
Похожий интеграл без корня уже найден
выше (пример 6), и достаточно на
соответствующем шаге добавить корень:
,
где
.
Разбиваем
и находим
б)
.
Таким образом,
,
где
.
Ответ: .
Пример 9.
Полный квадрат удобно получить так:
где
.
Тогда
.
Заменим
.
При этом
и
:
Действуем так же, как в примере 8:
Ответ: .
Замечание 3.
Нельзя из-под корня выносить знак «–»
или любой отрицательный общий множитель:
;,
и т.д. В примере 9 показан единственно
возможный правильный способ действий.
Пример 10.
Посмотрим, что изменится, если в примере
9 поставить квадрат: найдём
.
Теперь после тех же замен окажется, что
Как обычно,
и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:
;
.
Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:
где снова
,
а
Новый интеграл
находят или тригонометрической
подстановкой
,
или повторным интегрированием по частям,
взяв
и
.
Воспользуемся готовой формулой
(стр. 19):
Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:
в ответе приведём подобные слагаемые.
Итак, продолжаем наше знакомство с основными приёмами интегрирования. В прошлый раз мы научились с вами пользоваться и рассмотрели самые простые самых простых функций. Теперь настала пора двигаться дальше и понемногу расширять наши возможности.
Итак, метод подведения функции под знак дифференциала – в чём его суть? Вообще говоря, данный метод не является самостоятельным методом интегрирования. Это, скорее, частный случай более общего и мощного метода – метода замены переменной . Или метода подстановки . Почему? А потому, что сам процесс интегрирования подведением под дифференциал всё равно сопровождается последующим введением новой переменной. Звучит пока малопонятно, но на примерах всё куда яснее будет.
Что нам потребуется в сегодняшнем материале:
1) Правило раскрытия дифференциала любой функции f (x ). Именно само правило. Строгое определение, что же такое дифференциал, нам здесь не нужно. А правило - вот:
d(f(x)) = f ’(x )dx
Всё просто, как в сказке: считаем производную функции f’(x) и помножаем её на dx (дифференциал аргумента).
2) Таблица производных. Да-да! Я серьёзно. :)
3) Ну, логично. Раз уж мы здесь вовсю интегрируем.) Это тема прошлых двух уроков.
4) Правило дифференцирования сложной функции.
Вот, собственно, и всё.Когда чаще всего применяется данный метод? Чаще всего он применяется в двух типовых ситуациях:
Случай 1 - Сложная функция от линейного аргумента
Подынтегральная функция имеет вид:
f(kx + b)
В аргументе – линейная конструкция kx + b . Или, по-другому, под интегралом стоит какая-то сложная функция от линейного аргумента kx+b.
Например:
И тому подобные функции. Интегралы от таких функций очень легко сводятся к табличным и берутся в уме буквально через пару-тройку успешно решённых примеров. И мы порешаем.)
Случай 2 - Сложная функция от произвольного аргумента
В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение:
f (g (x ))· g ’(x )
Иными словами, под интегралом тусуется произведение некой сложной функции f (g (x )) и производной от её внутреннего аргумента g ’(x ) . Или интеграл легко сводится к такому виду. Это более сложный случай. О нём - во второй части урока.
Чтобы не томить народ долгими ожиданиями и разглагольствованиями, сразу приступаем к примерам на случай 1 . Будем интегрировать те функции, что я выписал выше. По порядочку.
Как подвести под дифференциал линейную функцию?
И сразу пример в студию.)
Пример 1
Лезем в таблицу интегралов и находим похожую формулу (это 4-я группа):
Всё бы хорошо, но… есть проблемка. :) В таблице интегралов в показателе экспоненты e x стоит просто икс . У нас же в показателе тусуется 3х. Три икс. Не катит… Не годится табличная формула для прямого применения: тройка всё испортила. Доцент! А, доцент! Что делать-то будем? (с)
Чтобы справиться с этим примером, нам придётся "подогнать" данный интеграл под табличную формулу. И сейчас я подробно покажу, как именно происходит подгонка. Для этого давайте-ка вернёмся в самое начала раздела и вспомним самую общую запись неопределённого интеграла. В общем виде. Вот она:
Так вот. Весь фокус состоит в том, что эта самая общая запись неопределённого интеграла будет справедлива не только для переменной икс , но и для любой другой буквы – y, z, t или даже целого сложного выражения . Какого хотим. Важно, чтобы соблюдалось одно единственное требование: в скобочках подынтегральной функции f(…), первообразной функции F(…) и под дифференциалом d(…) стояли одинаковые выражения . Во всех трёх местах! Это важно.
Например:
И так далее.) Какая бы буковка и какое бы сложное выражение ни стояли в этих трёх местах, табличная формула интегрирования всё равно сработает! И это неудивительно: любое сложное выражение мы имеем полное право обозначить одной буквой. И работать целиком со всей конструкцией как с одной буквой . А таблице по барабану, какая там буква стоит – икс, игрек, зэт, тэ… Для неё все буквы равноправны.) Поэтому сама конструкция во всех скобочках может при этом быть совершенно любой. Лишь бы одной и той же. )
Поэтому, для нашей конкретной табличной формулы ∫ e x dx = e x + C , мы можем записать:
А теперь порассуждаем. Для того чтобы в нашем примере у нас появилось право воспользоваться таблицей, нам надо добиться того, чтобы под интегралом образовалась вот такая конструкция:
И в показателе и под дифференциалом должно стоять выражение 3х . А теперь посмотрим ещё раз на наш пример:
С показателем и так всё как надо, там у нас 3х. По условию.) А вот под дифференциалом пока что стоит просто х . Непорядок! Как же нам из dx сделать d(3x) ?
Для достижения этой благородной цели нам надо как-то связать между собой два дифференциала - новый d(3х) и старый dx . В данном случае это очень легко сделать. Если, конечно, знать, как раскрывается дифференциал.)
Получим:
Отлично! Значит, связь между старым и новым дифференциалами будет вот такой:
Dx = d(3x)/3.
Что? Не помните, как раскрывать дифференциал? Это вопрос к первому семестру. К дифференциальному исчислению.)
А теперь что делаем? Правильно! Подставляем вместо старого дифференциала dx новое выражение d(3x)/3 в наш пример. Тройка в знаменателе нам уже не помеха: мы её того… наружу. За знак интеграла.)
Что получим:
Вот и отлично. В показателе экспоненты и под дифференциалом образовалось совершенно одинаковое выражение 3х. Чего мы, как раз, так усиленно добивались.) И с выражением 3х теперь можно работать целиком, как с одной новой буквой . Пусть t, например. Тогда после замены выражения 3x на t наш интеграл станет выглядеть вот так:
А новый интеграл по переменной t - уже так нужный нам табличный! И теперь можно с чистой совестью воспользоваться табличной формулой и твёрдой рукой записать:
Но расслабляться рано. Это пока ещё не ответ: нам икс нужен, а не t. Осталось лишь вспомнить, что t = 3x и выполнить обратную замену . И теперь наш ответ полностью готов! Вот он:
Вот всё и получилось.) Ну что, проверим? А вдруг, напортачили где-то? Дифференцируем результат:
Нет. Всё гуд.)
Пример 2
В таблице интегралов функции cos (x +4) нету. Есть просто косинус икс. Но! Если мы как-то организуем выражение х+4 и под дифференциалом d ( x +4) , то выйдем на табличный интеграл:
∫ cos x dx = sin x + C
Итак, связываем наш требуемый новый дифференциал d(x+4) со старым dx:
d (x +4) = (х+4)’· dx = 1· dx = dx
Ух ты, как хорошо! Оказывается, наш новый дифференциал d(x+4) это то же самое, что и просто dx! И безо всяких дополнительных коэффициентов. Халява сплошная!)
Да.) Так и есть. Смело заменяем dx на d(x+4), работаем со скобкой (x+4) как с новой буквой и с чистой совестью пользуемся таблицей.
В этот раз решение запишу чуть компактнее:
Проверяем результат интегрирования обратным дифференцированием:
(sin(x+4)+C)’ = (sin(x+4))’ + C’ = cos(x+4)∙(x+4)’+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)
Всё в шоколаде.)
Ну как, хлопотно? Согласен, хлопотно. Каждый раз выписывать дифференциалы, связывать один с другим, выражать старый дифференциал через новый… Не отчаивайтесь! Есть хорошая новость! Так обычно и не делают. :) Я так подробно расписал решение чисто для понимания сути алгоритма. На практике же поступают гораздо проще. Давайте ещё разок выпишем наши связи между старыми и новыми дифференциалами из обоих примеров:
Что можно заметить из этих записей? Два очень важных факта!
Запоминаем:
1) Любой ненулевой числовой коэффициент k (k≠0) можно внести под дифференциал, для компенсации разделив полученный результат на этот коэффициент:
2) Любое постоянное слагаемое b можно внести под дифференциал без последствий:
Строго доказывать данные факты не буду. Ибо просто это. Из примеров и так всё понятно, надеюсь.) Если хотите строгости – ради бога. Упрощайте правые части обоих равенств, раскрывая дифференциалы. И там и там получите просто dx. :)
Данные два факта можно легко объединить в один, более универсальный.
Любую линейную конструкцию kx+b можно внести под дифференциал dx по правилу:
Подобная процедура носит название подведение функции под знак дифференциала . В данном случае под дифференциал подводится линейная конструкция kx + b . Мы искусственно превращаем неудобный нам дифференциал dx в удобный d (kx + b ) .
И зачем нам такие ужасающие возможности - спросите вы? Просто так – незачем. Но зато с помощью такого искусного манёвра очень многие нетабличные интегралы теперь будут щёлкаться буквально в уме. Как орешки.)
Смотрите!
Пример 3
Этот пример будем сводить к табличному интегралу от степенной функции:
Для этого подведём под дифференциал нашу линейную конструкцию 2х+1, стоящую под квадратом. То есть, вместо dx пишем d(2x+1). Так нам надо. Но математике надо, чтобы от наших действий суть примера не изменилась! Поэтому идём на компромисс и, согласно нашему правилу, домножаем дополнительно всю конструкцию на коэффициент 1/2 (у нас k = 2, поэтому 1/k = 1/2).
Вот так:
И теперь считаем:
Готово дело.) А вот тут у некоторых читателей может возникнуть вопрос. Очень хороший вопрос, между прочим!
Мы ведь могли и не подводить выражение 2х+1 под дифференциал, не вводить никакую новую переменную, а просто взять и тупо возвести скобки в квадрат по школьной формуле квадрата суммы
(2х+1) 2 = 4х 2 +4х+1 ,
После чего почленно (в уме!) проинтегрировать каждое слагаемое. Можно так делать? Конечно! А почему – нет? Попробуйте! И сравните полученные результаты. Будет вам там сюрприз! Подробности – в конце урока. :)
А мы пока движемся дальше. Оставшиеся примеры распишу уже без особых комментариев… Подводим линейный аргумент kx+b под дифференциал, а образовавшийся коэффициент 1/k выносим за знак интеграла. И срабатываем по таблице. Окончательные ответы выделены жирным шрифтом.
Пример 4
Легко!
Пример 5
Без проблем!
И, наконец, последний пример.
Пример 6
И тут всё проще простого!
Ну как? Понравилось? И теперь такие примеры вы можете щёлкать в уме! Заманчивая возможность, правда?) Более того, сами подобные интегралы частенько бывают отдельными слагаемыми в более накрученных примерах.
Кстати сказать, после определённого навыка работы с таблицей первообразных, со временем полностью отпадает необходимость вводить новую промежуточную переменную t. За ненадобностью.
Например, очень скоро, вы сразу в уме на подобные примеры будете давать готовый ответ:
И даже в один присест расправляться с монстрами типа:
А вы попробуйте вычислить данный интеграл "в лоб", через возведение в 1000-ю степень по формуле бинома Ньютона! Придётся почленно интегрировать 1001 слагаемое, да… А вот с помощью подведения под дифференциал - в одну строчку!
Так, ну хорошо! С линейной функцией всё предельно ясно. Как именно подводить её под дифференциал – тоже. И тут я слышу закономерный вопрос: а только ли линейную функцию можно подвести под дифференциал?
Разумеется, нет! Любую функцию f(x) можно подвести под дифференциал! Ту, которая удобна в конкретном примере. А уж какая там удобна – от конкретного примера зависит, да… Просто на примере линейной функции очень просто демонстрировать саму процедуру подведения. На пальцах, что называется.) А теперь мы плавненько подходим к более общему случаю 2 .
Как подвести под дифференциал любую произвольную функцию?
Речь пойдёт о случае, когда подынтегральная функция имеет вот такой вид:
f (g (x ))· g ’(x ) .
Или, что то же самое, подынтегральное выражение имеет вид:
f (g (x ))· g ’(x )dx
Ничего особенного. Просто dx приписал.)
Одним словом, речь пойдёт об интегралах вида:
Не пугаемся всяких штрихов и скобочек! Сейчас всё куда яснее станет.)
В чём здесь суть. Из исходной подынтегральной функции можно выделить сложный аргумент g (x ) и его производную g ’(x ) . Но не просто выделить, а расписать именно в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) от этого самого аргумента на его производную g ’(x ) . Что и выражается записью:
f (g (x ))· g ’(x )
Перефразируем теперь всё в терминах дифференциала: подынтегральное выражение можно представить в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) и дифференциала её аргумента g ’(x ) dx .
И тогда, стало быть, всё наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:
Говоря по-русски, мы вносим промежуточную функцию g (x ) под знак дифференциала . Было dx, а стало d(g(x)). И зачем нам эти метаморфозы? А затем, что, если сейчас ввести новую переменную t = g(x) , то наш интеграл существенно упростится:
И, если новый интеграл по новой переменной t вдруг (!) окажется табличным, то всё в шоколаде. Празднуем победу!)
"Многа букафф", да. Но на примерах сейчас всё куда понятнее будет. :) Итак, вторая часть пьесы!
Пример 7
Это классика жанра. Под интегралом дробь. Напрямую таблицей не воспользуешься, никакими школьными формулами ничего не преобразуешь. Только подведение под дифференциал и спасает, да.) Для этого распишем нашу подынтегральную дробь в виде произведения. Хотя бы вот такого:
А теперь разбираемся. С логарифмом в квадрате всё ясно. Он и в Африке логарифм… А что такое 1/x? Вспоминаем нашу незабвенную таблицу производных… Да! Это производная логарифма!
Вставляем теперь в подынтегральную функцию вместо 1/х выражение (ln x) ’ :
Вот мы и представили исходную подынтегральную функцию в нужном нам виде f (g (x ))· g ’(x ) . Превратили её в произведение некой функции от логарифма f(ln x) и производной от этого самого логарифма (ln x) ’ . А именно - в произведение ln 2 x и (ln x) ’.
А теперь давайте подробно расшифруем, какие же именно действия у нас скрываются за каждой буковкой.
Ну, с функцией g(x) всё ясно. Это логарифм: g(x) = ln x .
А что же скрывается под буквой f? Не всех осеняет сразу… А под буквой f у нас скрывается действие - возведение в квадрат :
Вот и вся расшифровка.)
А всё подынтегральное выражение можно теперь переписать вот так:
И какую же функцию мы внесли под дифференциал в данном примере? В данном примере мы внесли под дифференциал логарифмическую функцию ln x!
Готово дело.) Для того чтобы убедиться в правильности результата, всегда можно (и нужно) продифференцировать ответ:
Ура! Всё ОК.)
А теперь обратите внимание, как именно мы дифференцируем окончательный ответ всех примеров этого урока. Неужели до сих пор не уловили закономерность? Да! Как сложную функцию! Оно и естественно: дифференцирование сложной функции и подведение функции под знак дифференциала – это два взаимно обратных действия. :)
Это был довольно несложный пример. Чтобы разобраться, что к чему. Теперь пример посолиднее.)
Пример 8
Опять же, впрямую ничего не решается. Попробуем метод подведения под дифференциал с последующей заменой. Вопрос – что подводить и заменять будем? А вот тут уже задачка.)
Нам надо попробовать подынтегральную функцию x·cos(x 2 +1) как-то представить в виде произведения функции от чего-то на производную этого самого чего-то :
Ну, произведение у нас и так уже есть - икса и косинуса.) Чутьё подсказывает, что функцией g(x), которую мы и будем подводить под дифференциал, будет выражение x 2 +1 , которое сидит внутри косинуса. Прямо таки напрашивается:
Всё чётко. Внутренняя функция g - это x 2 +1, а внешняя f - это косинус.
Хорошо. А теперь давайте проверим, не связан ли как-то оставшийся множитель x с производной выражения x 2 +1 , которое мы выбрали в качестве кандидата на подведение под венец дифференциал.
Дифференцируем:
Да! Связь налицо! Если 2x = (x 2 +1)’ , то для одинарного икса мы можем записать:
Или, в виде дифференциалов:
Всё. Кроме x 2 +1, никаких других выражений с иксом у нас больше нигде в примере нет. Ни в подынтегральной функции, ни под знаком дифференциала. Чего мы и добивались.
Переписываем теперь наш пример с учётом этого факта, заменяем выражение x 2 +1 новой буквой и – вперёд! Правда, это… Коэффициент 1/2 ещё вылез… Не беда, мы его наружу, наружу! :)
Вот и всё. Как мы видим, в предыдущем примере под дифференциал вносилась логарифмическая функция, а здесь - квадратичная.
Рассмотрим теперь более экзотический пример.
Пример 9
На вид ужас-ужас! Однако, горевать рано. Самое время вспомнить нашу горячо любимую таблицу производных.) А чуть конкретнее – производную арксинуса.
Вот она:
Тогда, если подвести этот самый арксинус под дифференциал, то этот злой пример решается в одну строчку:
И все дела!
А теперь, давайте на данном примере проанализируем весь наш увлекательный процесс подведения функции арксинус под дифференциал. Что нам пришлось сделать, чтобы успешно справиться с этой задачей? Нам пришлось опознать в выражении
производную другого выражения – арксинуса! Иными словами, сначала вспомнить (по таблице производных), что
И затем сработать справа налево. Вот так:
А вот это уже посложнее, чем простое дифференцирование, согласитесь! Точно так же, как и, например, извлекать квадратный корень сложнее, чем возводить в квадрат.) Нам приходится подбирать нужную функцию. По таблице производных.
Поэтому, помимо прямого дифференцирования, в интегрировании нам ещё надо будет постоянно проводить обратную операцию - распознавать в функциях производные других функций . Здесь чёткого алгоритма нет. Тут практика рулит.) Рецепт здесь один – решать примеры! Как можно больше. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров – и такие замены вы будете замечать и проделывать достаточно быстро и легко. На автомате, я бы даже сказал. И обязательно надо знать таблицу производных! Наизусть.)
Я даже не поленюсь и самые популярные конструкции сведу в отдельную таблицу дифференциалов .
Этой небольшой сводной таблички уже вполне достаточно, чтобы успешно расправляться с большей частью примеров, решаемых методом подведения функции под знак дифференциала! Имеет смысл разобраться. :)
Скажу отдельно, что конструкция dx/x и соответствующий ей табличный интеграл ln|x| – одни из самых популярных в интегрировании!
К этой табличной формуле с логарифмом сводятся все интегралы от дробей, числитель которых является производной знаменателя . Смотрите сами:
Например, даже безо всякой замены, по этому правилу можно в одну строчку проинтегрировать тангенс, к примеру. Кто-то тут как-то спрашивал про тангенс? Пожалуйста!
И даже такие гиганты тоже интегрируются в одну строчку!
Забавно, правда? :)
Возможно, у особо глазастых возник вопрос, почему в первых трёх случаях я под логарифмом написал модуль, а в последнем случае – не написал?
Ответ: выражение e x +1 , стоящее под логарифмом в последнем примере, положительно при любом действительном x . Поэтому логарифм от выражения e x +1 всегда определён, и в данном случае вместо модуля можно использовать обычные скобки. :)
А зачем вообще под логарифмом в табличном интеграле стоит модуль? Ведь, в таблице производных у логарифма никакого модуля нету и при дифференцировании мы спокойненько пишем:
(ln x)’ = 1/х
А при интегрировании функции 1/x ещё и модуль зачем-то пишем…
На этот вопрос отвечу позже. В уроках, посвящённых определённому интегралу . Связан этот модуль с областью определения первообразной .
Заметьте: мы, как фокусники в цирке, по правде говоря, просто осуществляем какой-то набор махинаций с функциями, превращая их друг в друга по некой табличке. :) А с областью определения пока что вообще никак не паримся. И, по правде говоря, зря. Ведь мы работаем всё-таки с функциями! А область определения – важнейшая часть любой функции, между прочим! :) В том числе и тех функций, с которыми мы здесь работаем – подынтегральной f(x) и первообразной F(x) . Так что про область определения мы ещё вспомним. В специальном уроке.) Терпение, друзья!
Вот мы и рассмотрели с вами типовые примеры интегралов, решаемых подведением функции под знак дифференциала.) Сложно? Поначалу - да. Но после определённой тренировки и выработки навыка такие интегралы вам будут казаться одними из самых простых!
А теперь – обещанный сюрприз! :)
Давайте вновь вернёмся к примеру №3 . Там, подводя выражение 2х+1 под дифференциал, мы получили вот такой ответ:
Это правильный ответ. Продифференцируйте на бумажке, как сложную функцию, и убедитесь сами. :)
А теперь рассмотрим другой способ решения этого же примера. Не будем ничего подводить под дифференциал, а просто тупо раскроем квадрат суммы и почленно проинтегрируем каждое слагаемое. Имеем полное право!
Получим:
И это тоже правильный ответ!
Вопрос: первый и второй ответы к одному и тому же интегралу – одинаковы или различны?
Ведь, по логике, ответы к одному и тому же примеру, полученные двумя разными способами, должны совпадать, не так ли? Сейчас узнаем! Преобразуем первый результат, раскрыв куб суммы по формуле сокращённого умножения (a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3 .
Что получим:
А теперь сравниваем оба результата:
И… что-то тут не так! Откуда же в первом результате взялась "лишняя" дробь 1/6? Получается, что к одному и тому же интегралу получены два разных ответа!
Парадокс? Мистика?
Спокойствие! Разгадка тайны кроется в . Вспоминаем самый первый урок по интегрированию. :) Там зачем-то приведена оч-чень важная фраза: две первообразные одной и той же функции F 1 ( x ) и F 2 ( x ) отличаются друг от друга на константу.
А теперь вновь всматриваемся в наши результаты. И... видим, что в нашем случае так и есть: полученные двумя разными путями ответы как раз и отличаются на константу. На одну шестую. :)
F 1 (x) – F 2 (x) = 1/6
Вот и весь секрет. Так что никакого противоречия нет. :)
А его вообще можно взять аж... тремя различными способами! Не верите? Смотрите cами! :)
Способ №1 . Синус двойного угла не трогаем, а просто подводим аргумент 2x под дифференциал (как, собственно, уже делали в процессе разбора):
Способ №2 . Раскрываем синус двойного угла, под дифференциал подводим sin x :
Способ №3 . Снова раскрываем синус двойного угла, но под дифференциал подводим cos x:
А теперь дифференцируем все три ответа и удивляемся дальше:
Чудеса, да и только! Получилось три разных ответа! Причём в этот раз даже внешне не похожих друг на друга. А производная - одна и та же! :) Неужели дело опять в интегральной константе, и каждая из трёх функций отличается от другой на константу? Да! Как это ни странно, но это именно так.) А вы поисследуйте эти три функции самостоятельно! Не сочтите за труд. :) Преобразуйте каждую функцию к одному виду - либо к sin 2 x , либо к cos 2 x . И да помогут вам школьные формулы тригонометрии! :)
К чему я рассмотрел эти сюрпризы и вообще затеял все эти светские беседы про интегральную константу?
А дело вот в чём. Как вы видите, даже небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, да... Но фишка в том, что от этого ответ не перестаёт быть правильным! И, если в сборнике задач вы, вдруг, увидите ответ, не совпадающий с вашим, то огорчаться рано. Ибо этот факт вовсе не означает, что ваш ответ неверен! Возможно, что вы просто пришли к ответу иным путём, чем предполагал автор примера. Так бывает.) А убедиться в правильности ответа всегда поможет самая надёжная проверка, основанная на . Какая? Правильно! Дифференцирование окончательного ответа! Получили подынтегральную функцию - значит, всё ОК.
Ну как, прочувствовали теперь, насколько важен значок dx под интегралом? Во многих примерах только он и спасает, да. Мощная штука! Так что теперь не пренебрегаем им! :)
А теперь – тренируемся! Поскольку тема не самая простая, то и примеров для тренировки в этот раз будет больше обычного.
Методом подведения функции под знак дифференциала найти неопределённые интегралы:
Ответов в этот раз давать не буду. Так будет неинтересно. :) Не ленитесь дифференцировать результат! Получили подынтегральную функцию – ОК. Нет – ищите, где накосячили. Все примеры очень простые и решаются в одну (максимум две) строчки. Кому позарез нужны ответы, все примеры взяты из сборника задач по матанализу Г.Н. Бермана. Скачивайте, ищите свой пример, сверяйтесь. :) Успехов!
При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала . Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$
Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.
Формула
Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:
$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$
Подведение основных функций
Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:
| $ dx = d(x+c), c=const $ | $ -\sin x dx=d(\cos x) $ |
| $ dx=\frac{1}{a} d(ax) $ | $ \cos x dx = d(\sin x) $ |
| $ xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) $ | $ \frac{dx}{x} = d(\ln x) $ |
| $ -\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x}) $ | $ \frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x) $ |
| $$ \int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C $$ | |
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти интеграл $$ \int \sin x \cos x dx $$ |
| Решение |
|
В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \соs x $. Используя формулы имеем: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ |
Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.
Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:
$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$
Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций , а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов . Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:
\begin{equation}dy=y"dx\end{equation}
Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ - некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:
$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$
Так как $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:
$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$
Запишем полученный результат отдельно, т.е.
\begin{equation}dx=d(x+C)\end{equation}
Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.
Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:
$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$
Так как $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)"dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac{d(Cx)}{C}=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:
\begin{equation}dx=\frac{1}{C}\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end{equation}
Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac{1}{5} d(5x)$, $dx=-\frac{1}{19} d(-19x)$.
В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.
Замечание относительно формул
В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов , которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице ". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".
И ещё одно небольшое примечание
Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и . Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.
Пример №1
Найти $\int \frac{dx}{x+4}$.
Если мы обратимся к , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac{dx}{x+4}$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac{du}{u}$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac{dx}{x+4}$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе - выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:
$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$
Так как $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)"dx $ станет таким:
$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$
Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?
А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac{dx}{x+4}$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}$$
Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.$$
По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$
Ответ : $\int \frac{dx}{x+4}=\ln|x+4|+C$.
Пример №2
Найти $\int e^{3x} dx$.
Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^{3x} dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^{3x} dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ - выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:
$$ d(3x)=(3x)"dx $$
Так как $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)"dx$ станет таким:
$$ d(3x)=3dx $$
Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac{d(3x)}{3}=dx$, т.е. $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ подробно.
Что нам дало полученное равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^{3x} dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac{1}{3}\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x) $$
Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C.$$
Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C.$$
Ответ : $ \int e^{3x} dx= \frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$.
Пример №3
Найти $\int (3x+2)^2 dx$.
Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании . Второй способ заключается в применении метода подстановки.
Первый способ
Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:
$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$
Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^2}{2}+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:
$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$
$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$
Второй способ
Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в значение $C=3$, получим $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$ и $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$.
Отмечу, что равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$ можно получить и иным способом:
$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\\ dx=\frac{1}{3}d(3x+2). $$
Используем полученное равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac{1}{3}d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac{1}{3}$ вынесем за знак получившегося интеграла:
$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac{1}{3}d(3x+2)=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$
Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:
$$ \frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{u^3}{9}+C. $$
Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:
$$ \frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$
Полное решение без пояснений таково:
$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$
Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.
Вопрос №1
Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:
$$ \frac{(3x+2)^3}{9}+C=\frac{27x^3+54x^2+36x+8}{9}+C=\frac{27x^3}{9}+\frac{54x^2}{9}+\frac{36x}{9}+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C. $$
Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac{8}{9}$?
Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac{8}{9}$, получим:
$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$
Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac{(3x+2)^3}{9}+C$.
Вопрос №2
Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.
Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^{200} dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:
$$ \int (3x+2)^{200} dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^{200} d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^{200} du=\frac{u^{201}}{603}+C=\frac{(3x+2)^{201}}{603}+C. $$
А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^{200} dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^{200}$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.
Пример №4
Найти $\int \sin2x dx$.
Решение этого примера проведём тремя различными способами.
Первый способ
Заглянем в таблицу интегралов . Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся , внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:
$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac{1}{2}\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac{1}{2}d(2x)=\\ =\frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac{1}{2} \int \sin u du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
Второй способ
Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:
Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:
$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$
Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:
$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$
Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:
$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$
Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:
$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.
Третий способ
Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:
$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$
Найдем $d(\sin x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:
$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$
Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:
$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$
Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:
$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$
Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:
$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.
Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.
Вопрос №3
Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac{8}{9}$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?
Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ станет таким:
$$ -\frac{1}{2}\cos 2x+C=-\frac{1}{2}\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac{1}{2}. $$
Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:
$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$
Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac{1}{2}$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, - но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла . Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:
$$ \left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)"+C"=-\frac{1}{2}\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$
Проверка пройдена успешно. Равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или 
(коэффициенты a , b и f не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Пример 14
Найти неопределенный интеграл
Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.
1) Когда дан интеграл вида
Или
(где коэффициенты a , b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.
2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: .
3) Раскрываем дифференциал:
Смотрим на числитель нашего интеграла:
Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x . В данном случае с подходящим множителем получится:
4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:
Снова смотрим на числитель нашего интеграла:
Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).
5) К нашему дифференциалу
приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:
– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)
наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:
– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:
.
6) Выполняем проверку:
У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.
Чистовое оформление решения выглядит примерно так:
(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.
(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать
(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.
(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.
И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Пример 15
Найти неопределенный интеграл
Пример 16
Найти неопределенный интеграл
Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:
.
Пример 15: Решение:
Пример 16: Решение:
.
