Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

Институт открытого дистанционного обучения

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю.

Теоретическая механика

Часть II. Кинематика и динамика твердого тела

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Нижний Новгород – 2004

ББК 22.21 Т 11

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю. Теоретическая механика. Часть II. Кинематика и динамика твердого тела. Учебное пособие.– Н.Новгород: Нижегорд. гос. архит.-строит. ун-т., 2004.– 69 с.

ISBN 5-87941-303-9

Учебное пособие содержит основные сведения и теоретические положения кинематики и динамики твердого тела. Включает задания для контрольных работ по кинематике и динамике, краткие сведения из теории, рекомендации по решению задач, примеры решения типичных задач.

ISBN 5-87941-303-9

РАЗДЕЛ 1. КИНЕМАТИКА

Введение

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение, т.е. изменение положения одного тела относительно другого тела, с которым связана система отсчета, которая может быть как движущейся, так и неподвижной, без учета действующих сил.

Относясь к разделу фундаментальных наук, теоретическая механика и кинематика как важная составная часть ее, является основой для изучения многих дисциплин, изучающихся в высшей технической школе.

Законы и методы теоретической механики находят широкое применение в изучении важнейших задач техники, таких как конструирование различных сооружений, машин и механизмов, изучение движения космических тел, решение задач аэродинамики, баллистики и других.

Теоретическая механика, основанная на трудах Аристотеля, Архимеда, Галилея, Ньютона, носит название классической механики, в ней рассматривается движение тел со скоростями, много меньшими скорости света.

Механическое движение происходит во времени в пространстве, при этом в классической механике пространство считается трехмерным, подчиняющимся евклидовой геометрии; время считается протекающим непрерывно и одинаково во всех системах отсчета.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ

Все кинематические величины, характеризующие движение тела или его отдельной точки (расстояние, скорости, ускорения и т.д.) рассматриваются как функции времени.

Решить задачу кинематики значит найти траекторию, положение, скорость и ускорение каждой точки тела.

Траектория точки – это геометрическое место последовательных положений, занимаемых точкой в пространстве при ее перемещении.

Скорость точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок соединяющий две любые точки тела перемещаются параллельно самому себе.

При поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех точек тела геометрически равны и траектории всех точек идентичны, т.е. при наложении совпадают, поэтому достаточно точно знать характеристики движения одной точки тела.

2.2. Вращательное движение твердого тела

2.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется движение твердого тела, при котором остаются неподвижными хотя бы две точки тела. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения . Все точки тела, лежащие на оси, при вращении остаются неподвижными. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси, а радиусы равны расстояниям от точек до оси (рис.1). Точки А и В удерживаются неподвижными с помощью подпятника и подшипника соответственно.

Выберем положительное направление оси z и проведем через нее неподвижную плоскость I, вторую плоскость II также проведем через ось и свяжем ее с телом. При вращении плоскость II будет образовывать угол с плоскостью I. Линейный угол ϕ этого движущегося угла называется углом поворота. Если функция ϕ = f (t) известна, то вращательное движение считается заданным. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью . Угловая скорость ω определяется как производная по времени от угла поворота

ω= d dt ϕ =ϕ& (рад/сек) или (с-1 )

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, называется угловым ускорением , которое определяется как вторая производная от угла поворота по времени или первая производная от угловой скорости

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (рад/сек2 ) или (с-2 )

Если первая и вторая производная от угла ϕ по времени имеют одинаковый знак, то вращение ускоренное, если разный знак – то замедленное. Если угловая скорость постоянна, то вращение равномерное (при этом угловое ускорение ε =0).

2.2.2. Скорость и ускорение точки вращающегося тела

Скорость движения точки тела по окружности называется вращательной скоростью, и модуль ее зависит от расстояния от точки до оси вращения.

V = ω ОМ

Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу окружности, описываемой точкой, в сторону вращения (рис.2).

Ускорение точки вращающегося тела имеет две составляющие – центростремительное и вращательное ускорения.

Ацс = ω 2 ОМ авр = ε ОМ

Вектор a цс направлен от точки к оси вращения, вектор a вр направлен перпендикулярно радиусу в сторону ε .

Вектор полного ускорения a равен геометрической сумме a цс и a вр

a = a цс + a вр ,

а модуль полного ускорения определится по формуле

а = ОМ ω 4 +ε 2

2.2.3. Векторное выражение скорости, центростремительного и вращательного ускорений точек вращающегося тела

Принято считать, что угловая скорость и угловое ускорение – это векторы, направленные по оси вращения, причем вектор ω направлен по оси таким образом, чтобы с его конца вращение представлялось происходящим против хода часовой стрелки, вектор углового ускорения ε также направлен по оси в ту же сторону, что и ω при ускоренном вращении, либо в противоположную – при замедленном.

Вращательная скорость точки, центростремительное и вращательное ускорения могут быть представлены в виде векторных произведений (рис.3).

v =ω x r ,

a цс = ω x v = ω x ω x r

a вр = ε x r

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 3.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО
ТЕЛА
Кафедра теоретической механики

План лекции

Введение.
Закон плоского движения.
Скорости точек тела.
Ускорения точек тела.
.
Заключение.

На прошлых лекциях

Мы уже изучили:
-Кинематику точки
-Поступательное движение твердого тела
-Вращательное движение твердого тела
Тема сегодняшней лекции:
Плоское движение твердого
тела
Q
O
Определение. Плоским
называется такое движение
P
твердого тела, при котором все x
его точки М(t) движутся в
плоскостях Q, параллельных
некоторой неподвижной
плоскости P.
M
A S
y

Цель лекции

Изучить плоское движение
твердого тела

Введение
Примеры:
-Вращательное движение (плоскость P –
перпендикулярна оси вращения)
-Движение самолета на крейсерском режиме
(плоскость P - перпендикулярна размаху крыльев)
-Движение колес автомобиля по прямой дороге
(плоскость P – вдоль кузова автомобиля)
-Движение плоских механизмов:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Введение
Q
O
P
M
A S
y
x
Утверждение. Все точки прямой AM,
перпендикулярной P, движутся одинаково.
Доказательство. Т.к. тело твердое, то АМ=const;
Т.к. P параллельно Q, то отрезок AM остается
перпендикулярным P . Значит его движение
поступательно. Следовательно все его точки
движутся одинаково.
Вывод: Задача сводится к изучению движения
сечения S в плоскости P.

y
Движение плоской фигуры S
относительно системы Oxy
полностью определится
A
yA
движением отрезка AB
O
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- определяют движение полюса A.
t - определяет вращение AB вокруг полюса A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- закон плоского движения твердого тела
x

Закон плоского движения твердого тела
Интерпретация. Введем вспомо- Y y
гательную систему:
Ax1 y1; Ax1 параллельна Ox,
B
1
x1
A
Ay1 параллельна Oy;
O
В системе Ax1 y1 тело совершает враща
X
тельное движение. Система Ax1 y1 движется
относительно Oxy поступательно
Плоское движение – есть сумма поступательного
движения вместе с полюсом A и вращательного
движения относительно полюса A
x A (t), y A (t) задает поступательное движение
(t) задает вращательное движение

Интерпретация

1
а)
A
B
2
B"
1"
1
б)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно
рассматривать как суперпозицию двух движений:
поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2
вокруг точки A".
В качестве полюса можно выбрать любую точку. На
рис. б) в качестве полюса выбрана точка В.
Внимание: Длина пути при поступательном перемещении изменилась, но угол поворота остался прежним!
Т.е. поступательная часть от выбора полюса зависит, а
вращательная часть – не зависит!

Закон движения и траектории точек тела

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) sin((t))
Пример (движение эллипсографа)
AB l , AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Определить закон движения
и траекторию точки M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM (t) b sin (t) закон движения
xM2
yM2
2 1 эллипс
2
(b l)
b

Скорости точек тела

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Дифференцируя, получим:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
x
r
O
v A скорость полюса
d
v MA
скорость вращения вокруг полюса
dt
(v MA скорость M в системе Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
v MA
vA
A
M
vA

Следствия формулы для скоростей точек

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого
vB
тела на прямую, их соединяющую, равны.
Доказательство.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Следствие 2. Если точки
A,B,C лежат на одной
прямой, то и концы
векторов v A , v B , v C
лежат на одной прямой,
причем ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

МЦС – это точка, скорость которой
A
равна нулю в данный момент времени.
C
Пример. Катящийся без проскальзыL
вания диск. МЦС-точка С.
Утверждение. Если угловая скорость не равна нулю
для данного t, то МЦС существует и единственен.
vA
Доказательство.
A
Т.к. 0 то A и B, v A v B .
C
Если v A и v B не параллельны: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Если v C 0 то v A AC , v B BC
C найдено.
B
vB

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Если v A и vB параллельны:
A
B
C
в)
б)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Если 0 то случай в) невозможен
(по теореме о проекциях)
Если 0 то для всех A, B: v A v B
и МЦС не существует

Свойства МЦС.
Пусть P- МЦС. Выбирая P за полюс, получим:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Или:
...
AP BP CP
Причем v С PС
v B PB
A
P
vA
ω
B
Вывод. Если МЦС (точку P) взять за полюс, то
плоское движение для данного t представляет собой
чистое вращение вокруг точки P

МЦУ(пример)
Пример. Колесо катится без проскальзывания по
прямой дороге.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Пример (расчет скоростей плоского механизма)
Дано: OA , r1 r2 r, BD CD l
Определить v A , v B , v D , BD ; CD
Решение.
A
O
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - МЦС AB v B BP1 ;
vA
P1
vB
D
B
45º P
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Ускорения точек тела.

Имеем равенство: v B v A ω ρ
Продифференцируем его:
d v B dv A dω d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA n
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA ; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Ускорение точки B равно сумме ускорения полюса A и
ускорения вращения точки B вокруг полюса A

Следствие формулы для ускорений точек

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
C x
Рис. 13.19
Следствие. Если точки
на одной прямой,
A,B,C
лежат
то и концы векторов aA , aB , aC
лежат на одной прямой, причем ab/bc AB/BC

Мгновенный центр ускорений (МЦУ)

МЦУ- это точка Q , ускорение которой в данный
момент времени t равно нулю.
Утверждение. Для непоступательного движения МЦУ
В
существует и единственен.
a
B
A
aA
Доказательство.
aA aQ a AQ ; Q МЦУ
2
aA a AQ ; tg / ;
aC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Распределение ускорений как при вращении вокруг Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Замечание. МЦС и МЦУ- разные точки!
4

Кинематический расчет плоского механизма

Пример. Дано: OA , OA
Определить:
v A , v B , AB ,
BC , aA , aB , AB , AB
Схема решения.
1. Расчет скоростей.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB МЦС AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Кинематический расчет плоского механизма

2. Расчет ускорений.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
BC ; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
В (**) две неизвестные: AB , BC . Проецируя (**) на
две оси, найдем их. Ускорение aB найдем из (*).

Еще один пример

OA 0 , OA l1; AB l2 ; BD l3 ; DE l4
Определить v E
Дано:

Заключение

Заключение
1. Выведен закон плоского движения.
2. Показано, что плоское движение представляется
суммой простейших движений – поступательного
вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса.
3. Выведены формула связи между скоростями
точек и ее следствия.
4. Определено понятие МЦС и показаны его
своцства.
5. Выведены формула связи между ускорениями
точек и ее следствия.
6. Рассмотрены примеры кинематического расчета
плоских механизмов.

Контрольные вопросы к лекции

1. Сколько степеней свободы имеет твёрдое тело,
совершающее плоское движение?
2. Запишите закон плоского движения твёрдого тела.
3. Как связаны между собой скорости двух точек твёрдого
тела, совершающего плоское движение?
4. Чему равна угловая скорость вращения твёрдого тела?
5. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух
точек твёрдого тела при плоском движении.
6. Что называется мгновенным центром скоростей?
7. Что нужно знать, чтобы определить МЦС?
8. Из каких составляющих складывается ускорение точки
твёрдого тела, совершающего плоское движение?
9. Чему равно ускорение вращательного движения точки
вместе с телом вокруг полюса?

Кинематика точки.

1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.

Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

Объекты изучения в теоретической механике:

материальная точка,

система материальных точек,

Абсолютно твердое тело.

Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

2. Предмет кинематики.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).

3. Способы задания движения точки

· Естественный способ

Должно быть известно:

Траектория движения точки;

Начало и направление отсчета;

Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)

· Координатный способ

Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.

Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)

· Векторный способ

(1.3) Связь между координатным и векторным способами задания движения точки (1.4)

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки

Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);

-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)

После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)

4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .

(1.5) средняя скорость точки, направлен вектор также как и вектор

Скорость точки в данный момент времени

Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

(1.6)

(1.7)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения ¾ м/с, км/час)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения - )

Как располагается вектор по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Плоскопараллельное движение твердого тела.

1. Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью O xy , параллельной плоскости П . При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ / , перпендикулярны к сечению (S) , то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости O xy .

(4.1)

Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

2. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное

вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса

Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение S движущегося тела в моменты времени t 1 и t 2 = t 1 + Δt . Легко видеть, что сечение S , а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А , двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А 2 . При этом отрезок A 1 B 1 займет положение, а затем повернем сечение вокруг полюса А 2 на угол Δφ 1 .

Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.

При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А . Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А .

Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А - третьим из уравнений (2. 1).

Основные кинематические характеристики плоского движения

В качестве полюса можно выбирать любую точку тела

Вывод : вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение e являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры

Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры

Трехмерное изображение

3. Определение скоростей точек тела

Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью v А и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox 1 y 1 – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А ».

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.

Геометрическая интерпретация теоремы

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематика точки

Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Таким образом, положение точки определяется вектором, проведенным из начала координат O в точку M . Такой вектор называют радиус-вектором :
,
где - единичные векторы в направлении осей x, y, z .

Скорость точки - это производная радиус-вектора по времени:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки. Модуль скорости:
.

Ускорение точки - это производная вектора скорости по времени:
.
Модуль ускорения:
.

Касательное (тангенциальное) ускорение - это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости:
;
.
Оно вызывает изменение модуля скорости:
.
При скорость, по абсолютной величине, возрастает, и вектор направлен вдоль скорости. При скорость убывает, и вектор направлен противоположно скорости.

Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости и направлено к центру кривизны траектории:
.
Оно вызывает изменение направления скорости и связано с радиусом кривизны траектории ρ :
.
Отсюда
.

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, , то
.

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.