Число равное сумме своих делителей. Что такое совершенные числа в математике

(т. е. всех делителей, отличных от самого́ числа).

Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6 ), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ). По мере того как возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число - 496, четвёртое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056.

История изучения

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что совершает оборот вокруг каждые 28 дней, и утверждавшими, что сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются ):

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2\cdot2 , 8=2\cdot2\cdot2 , 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2 n , где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки :

Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект . На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.

Примеры

• 1-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
• 2-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
• 3-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
• 4-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org .

Свойства

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях , - утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут , означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."

См. также

• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)

Примечания

Ссылки

• Депман И. Совершенные числа // Квант . - 1991. - № 5. - С. 13-17.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Совершенное число" в других словарях:

СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ …

Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Напр., 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14 суть совершенные числа … Большой Энциклопедический словарь

Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (то есть меньших этого числа) делителей. Например, 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 суть совершенного числа. * * * СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, натуральное число, равное сумме… … Энциклопедический словарь

Целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число является С. ч., если С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336 … Математическая энциклопедия

ЧИСЛО, СОВЕРШЕННОЕ, ЦЕЛОЕ число, равное сумме своих ДЕЛИТЕЛЕЙ, включая 1. Например, число 28 является совершенным числом, поскольку его делителями являются числа 1, 2, 4, 7 и 14 (не считая само число 28), а их сумма равна 28. Не известно,… … Научно-технический энциклопедический словарь

Числа вида Mn = 2n 1, где n натуральное число. Названы в честь французского математика Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами… … Википедия

Число - С древнейших времен различным числам приписывали тайные значения. Философы, последователи Пифагора (около 500 г. до Р.Хр.), утверждали, что числа являются основным началом и сущностью вещей и подробно определили качества и роды чисел. По их… … Словарь библейских имен

Непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… … Математическая энциклопедия

Шестиугольное число фигурное число. n ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n го шестиугольного числа … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. 6 (значения). 6 шесть 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 Факторизация: 2×3 Римская запись: VI Двоичное: 110 Восьмеричное: 6 Шестна … Википедия

Наука и Жизнь 1981 №10

Каждый из нас чем-либо да увлекается. Одни коллекционируют марки, камни, спичечные коробки; другие столярничают или разводят цветы, третьи ломают голову над шахматными этюдами. А автор этих строк забавляется числами, преимущественно натуральными. Увлечению этому без малого полвека, а оно не слабеет, по-прежнему доставляет радость, приводит к неожиданным находкам. Получат ли эти находки практическое применение? Такие случаи у меня бывали. Будут ли дальше? Не знаю. Бенджамин Франклин на этот вопрос отвечает так: «А какое применение у новорожденного?» В самом деле, какое? Это покажет время. А пока расскажем об одной такой забаве, оканчивающейся довольно любопытно. И начнем издалека.

Возьмём любое многозначное натуральное число, вычислим сумму его цифр, потом вновь сложим цифры полученной суммы и будем повторять это до тех пор, пока не придем к однозначному числу. Его-то и назовём конечной суммой цифр заданного числа, а для краткости обозначим КСЦ.

Например, КСЦ числа 27816365 равна 2, так как 2+7+8+1+6+3+6+5=38, далее 3+8=11, наконец, 1+1=2.

Всякое натуральное число при делении на 9 даст в остатке КСЦ делимого. Если же число делится на 9 нацело, то, естественно, остаток равен нулю.

Пусть задано натуральное число:

10 n *a+10 n-1 *b+10 n-2 *c+...+10p+r.

Представим его в таком виде:

(10-1) n *а+(10-1) n-1 *b+(10-1) n-2 *c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+p+r.

Ясно, что слагаемые, содержащие множители вида (10-1) k , кратны девяти. Следующую за ними сумму цифр заданного числа (a+b+c...+p+r) также представим в виде:

(10-1) m *a 1 +(10-1) m-1 *b 1 +(10-1) m-2 *c 1 +...(10-1)*p 1 +a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1 (1)

Новая сумма цифр (a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1) уже меньше предыдущей. Продолжая этот процесс, мы непременно придём к остатку, который окажется числом однозначным, иначе говоря,- к КСЦ заданного числа.

Рассмотрим то же на вышепривдённом примере:

27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.

Поэтому для вычисления КСЦ не обязательно складывать все цифры. Достаточно отбросить в числе все девятки: 2+7; 8+1; 6+3, а в оставшихся цифрах 6 и 5 остается отбросить 6+3. В результате получим КСЦ = 2.

Из этого следует, что разность между заданным числом (А) и его КСЦ всегда кратна девяти. Принято говорить, что А сравнимо с его КСЦ по модулю 9, а записывается это так:

А = КСЦ (mod 9), (1)

(здесь три чёрточки - знак сравнения).

Расположим теперь все натуральные числа в таблицу 1 так, чтобы в каждой строке их КСЦ была постоянна и равна крайнему левому числу строки.

Таблица 1

Если обозначить числа первого столбца через a i (i=1..9) то любое число в i-й строке (А i) запишется так:

A i = a i (mod 9). (2)

Сравнения можно складывать (а следовательно, и перемножать и возводить в степень) как обычные равенства:

A 1 = a 1 (mod 9)
+
A 2 = a 2 (mod 9)

A 1 +A 2 = (a 1 +a 2) (mod 9) (3)

Докажем это. Из (3) следует, что

(A 1 -a 1)/9=B 1 , и (A 2 -a 2)/9=B 2

где B 1 и В 2 - числа натуральные. Значит, и сумма их также число натуральное. Отсюда и вытекает результат в равенстве (3).

Доказательства для произведения и степени вы легко найдете сами.

А вот примеры:

21 = 3 (mod 9)
+
32 = 5 (mod 9)
=
53 = 8 (mod 9),

21*32 = 15 (mod 9),
иначе
21*32 = 6 (mod 9).

Следовательно, для того, чтобы выяснить, в какой строке таблицы 1 помещается сумма (произведение, степень) натуральных чисел, достаточно сложить (перемножить, возвести в степень) их КСЦ.

Составим ещё таблицу (2) степеней, начиная с квадратов первых девяти натуральных чисел, а в скобках запишем их КСЦ.

Из таблицы 2 видно, что КСЦ в любой строке повторяется через каждые 6 степеней. Поэтому достаточно рассмотреть степени со второй по седьмую.

Таблица 2

Много любопытного обнаруживается при сопоставлении первой и второй таблиц. Например: не существует степеней (кроме первой), для которых КСЦ равнялась бы трём или шести. КСЦ для шестых степеней равно только единице или девятке, а для третьих степеней - ещё и восьмерке. Для вторых и четвертых степеней КСЦ имеют одни и те же значения - 1, 4, 7, 9,- но четвёрки и семёрки у них поменялись местами.

Или вот ещё: КСЦ=2 встречается только дважды - у 5 5 и у 2 7 , а КСЦ=5 - также в двух случаях,- у 2 5 и 5 7 . Основания степеней в обоих случаях одинаковы, а показатели их поменялись местами.

Много чего можно отыскать в этих таблицах. Однако все это присказка, сказка впереди.

Немало времени прошло, пока не обнаружилось новое и, на мой взгляд, замечательное свойство таблицы 1. Оказалось, что все чётные совершенные числа (исключая шестёрки) располагаются только в ее первой строке. (Напомню: совершенными называются числа, равные сумме всех своих младших делителей). Иначе говоря, все (кроме первого) чётные совершенные числа (S) сравнимы с единицей по модулю 9:

Совершенные числа, о которых идет речь (а других мы не знаем), вычисляются по формуле Евклида:

S=2 p-1 (2 p -1) (5)

где и p, и (2 p -1) должны быть числами простыми. (Простыми называются числа, делящиеся только на себя и на единицу.)

Итак, перейдём к доказательству. Понятно, что число p, как всякое простое (кроме двойки), нечётно. Из таблицы 2 видно, что нечётный показатель степени у двойки может быть либо 3, либо 5, либо 7. При этом КСЦ этих степеней соответственно равны 8, 5 и 2. В таком случае КСЦ у (2 p -1) равны 7, 4 и 1. Что касается показателя степени у первого множителя в (5), то есть p-1, то он равен либо 2, либо 4, либо 6, а КСЦ этих степеней 2 p -1 равны соответственно 4, 7 и 1.

Остается перемножить КСЦ обоих сомножителей уравнения (5): 7*4; 4*7; 1*1, что даёт 28, 28 и 1. КСЦ всех этих трёх произведений равна 1. Что и требовалось доказать!

Так как мы не ставили никаких ограничений ни для множителя (2 p -1), ни для показателя p (кроме того, что он должен быть нечётным), то не только совершенные, но и все числа с нечётным p, вычисленные по формуле (5), расположены только в первой строке таблицы 1.

Не правда ли, любопытное свойство формулы Евклида?

Насколько мне известно, число приверженцев рубрики «Математические досуги», ведущейся в журнале вот уже почти 20 лет, не уменьшается, и среди них много таких читателей, кого интересуют забавы с числами. Тем же, кто ещё к этому не приобщился, советуем: играйте с числами! Не пожалеете!

Каратецкая Мария

В данной реферативной работе с элементами самостоятельного исследования "открывается" понятие совершенного числа,

исследуются свойства совершенных чисел,история их появления,приводятся интересные факты,связанные с понятием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя школа №19с углубленным изучением

Отдельных предметов»

Научное общество учащихся «Умники и умницы»

Реферативная работа с элементами

самостоятельного исследования

«Совершенные числа»

Выполнила:

Ученица 7класса «А»

Каратецкая Мария

Руководитель:

учитель математики

Колина Наталья Константиновна

Адрес ОУ:

606523, Нижегородская область, Городецкий

Район, г.Заволжье, ул.Молодежная, 1

МБОУ СШ №19 с УИОП

E-mail: [email protected]

2015 г.

1.Введение……………………………………………………………………………3

2.Что такое совершенное число?……...........................…………............................4

3.История появления совершенных чисел………………………………………....4

4.Свойства совершенных чисел…………………………….……………………....8

5.Интересные факты…………………………………..……………….....................8

6.Примеры задач…………………………………………………………………….9

7.Заключение…………………………………………………………………..........11

8.Список используемой литературы………………………….…………...............12

"Всё прекрасно благодаря числу» Пифагор.

1.Введение

Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". О числах первым начал рассуждать Пифагор. По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7–разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц".

Есть множества чисел, их подмножества, группы, и одна из необычных групп - это совершенные числа. В этой группе известно всего лишь 48 чисел, но не смотря на это, они образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел.

Проблема: Я люблю решать нестандартные задачки. Однажды мне попалась задача, в которой говорилось о совершенных числах, я испытала трудности при решении, поэтому заинтересовалась этой темой и решила подробнее изучить эти числа.

Цель исследования: познакомиться с понятием совершенного числа, исследовать свойства совершенных чисел, привлечь внимание учащихся к данной теме.

Задачи:

Изучить и проанализировать литературу по теме исследования.

Изучить историю появления совершенных чисел.

-«Открыть» свойства совершенных чисел и области их применения

Расширить свой умственный кругозор.

Методы исследования: изучение литературы, сравнение, наблюдение,

теоретический анализ, обобщение.

2.Что такое совершенное число?

Совершенное число - натуральное число , равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, включая 1,но отличных от самого числа,).

Первое совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.

Второе совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.

Третье совершенное число 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.

Четвертое совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

3. История появления совершенных чисел

Древнегреческий математик и философ Пифагор , он же создатель религиозно-философской школы пифагорейцев (570-490 гг. до н. э), ввел понятия избыточные и недостаточные числа.

Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 – избыточное число, так как сумма его делителей равна 16. Если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным».

Например, 10 – недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные числа, считали они, есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. В противоположность этому сверхизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, не упорядочены и не определены.

«Совершенное число есть равное своим долям». Эти слова принадлежат Евклиду , древнегреческому математику, автору первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике «Начала»(3 век до н.э.). До Евклида были известны только два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Благодаря своей формуле 2 p-1 *(2 p -1)- совершенное число, если (2 p -1)- простое число, Так Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Способ нахождения совершенных чисел описан в IX книге «Начал».

Никомах Геразский , греческий философ и математик (1-я пол. 2 в. н. э.), в своем сочинении «Введение в арифметику» писал: «…Прекрасные и благородные вещи обычно редки и легко пересчитываемы, тогда как безобразные и плохие - многочисленны; вот и избыточные и недостаточные числа отыскиваются в большом количестве и беспорядочно, так что способ их нахождения не упорядочен, в то время как совершенные числа легко перечислимы и расположены в надлежащем порядке. Ведь среди однозначных чисел находится одно такое число 6, второе число 28 –единственное среди десятков, третье число 496 – единственное среди сотен, а четвёртое число 8128 –среди тысяч, если ограничиться десятью тысячами. И присущее им свойство состоит в том, что они попеременно оканчиваются то на шестёрку, то на восьмёрку, и все являются чётными.Изящный и надёжный способ их получения, не пропускающий ни одного совершенного числа и дающий одни только совершенные числа, состоит в следующем. Расположи все чётно-чётные числа, начиная с единицы, в один ряд, продолжая его так далеко, насколько пожелаешь: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Затем складывай их последовательно, прибавляя каждый раз по одному,

и после каждого прибавления смотри на результат; и когда он будет

первичным и несоставным, умножь его на последнее прибавленное

число, в результате чего ты всегда будешь получать совершенное число.

Если же он будет вторичным и составным,умножать не надо, но надо

прибавить следующее число и посмотреть на результат; если он снова

окажется вторичным и составным, снова пропусти его и не умножай, но

прибавь следующее; но если он будет первичным и несоставным, то

умножив его на последнее прибавленное число, ты снова получишь

совершенное число, и так до бесконечности. И таким способом ты

получишь все совершенные числа по порядку, не пропустив ни одного

из них. К примеру, к 1 я прибавляю 2 и смотрю, какое число получилось

в сумме, и нахожу, что это число 3, первичное и несоставное в согласии

с тем, что говорилось выше, поскольку оно не имеет разноимённых

с ним долей, но только названную по нему долю; теперь я умножаю

его на последнее прибавленное число, которое есть 2, и получаю 6; и я

объявляю его первым настоящим совершенным числом, имеющим

такие доли, что они, будучи составленными вместе, укладываются в

самом числе: ведь единица является его названной по нему, о есть

шестой, долей, и 3 является половиной в соответствии с числом 2,и

обратно, двойка является третью. Число 28 получается этим же способом, когда следующее число 4 прибавляется к уже сложенным

выше. Ведь три числа 1, 2, 4 в сумме дают число 7, которое оказывается

первичным и несоставным, поскольку оно имеет только названную по

нему седьмую долю; а потому я умножаю его на последнее количество,

прибавленное к сумме, и мой результат составляет 28, равное своим

долям, и имеющее доли, названные по уже упомянутым числам:

половинную для четырнадцати, четвёртую для семёрки, седьмую для

4, четырнадцатую в противоположность половине, двадцать восьмую

в соответствии с собственным названием, а такая доля для всех чисел равна единице. И когда уже открыты в единицах 6 и в десятках 28, ты

8, и получишь 15; рассматривая его, я выясняю, что оно не является

первичным и несоставным, потому что в дополнение к названной по нему

доле оно имеет разноимённые с ним доли, пятую и третью; поэтому я не

умножаю его на 8, но прибавляю следующее число 16 и получаю число

31. Оно является первичным и несоставным, а потому его нужно, в

соответствии с общим правилом, умножить на последнее добавленное число 16, в результате чего получится 496 в сотнях; а затем получится 8128 в тысячах; и так далее, насколько будет желание продолжать…»

Следует сказать, что под вторичным числом Никомах понимает число, кратное данному, то есть то, которое можно получить, домножением на натуральные числа; долями он называет множители, входящие в разложение числа.

Если Никомах Геразский нашел лишь 4 первых совершенных числа,то Региомонтан(подлинное имя - Йоганн Мюллер), немецкий математик, живший в 15 веке,нашел пятое совершенное число - 33550336.

В XVI веке немецкий ученый Иоганн Эфраим Шейбель нашел ещё два совершенных числа- 8589869056 (8 миллиардов, 589 миллионов, 869 тысяч, 56), 137438691328 (137 миллиардов, 438 миллионов, 691 тысяча, 328).

Катальди Пьетро Антонио (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел. 8 589 869 056 (шестое число), 137 438 691 328 (седьмое число) для р=17 и 19)

Французский математик XVII века Марен Мерсенн предсказал, что многие числа, описываемые формулой , где p - простое число, также являются простыми. Ему удалось доказать, что для p=17, p=19, p=31 числа 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 являются совершенными.

Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук, Леонард Эйлер (начало 18в.) доказал, что все чётные совершенные числа соответствуют алгоритму построения чётных совершенных чисел, который описан в IX книге Начал Евклида. Также он доказал, что каждое чётное совершенное число имеет вид Mp, где число Мерсенна Mp является простым.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин . Первушин считал без всяких вычислительных приборов.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127).

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимаются проекты распределённых вычислений GIMPS и OddPerfect.org.

4. Свойства совершенных чисел

1.Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел.

2.Все чётные совершенные числа являются треугольными числами ; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.

3.Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2,то есть

4.Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

5.Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p -1 нулей (следствие из их общего представления).

6. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

5. Интересные факты

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. В XII веке церковь утверждала, что для спасения души необходимо найти пятое совершенное число.Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий, дескать, несовершенен, ибо произошел от несовершенного числа 8. Ведь именно 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Можно добавить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. Да и вообще легко обнаружить множество подобных совпадений. Например, руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг…

Египетская мера длины "локоть" содержала 28 пальцев.

На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость.

В 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Позже узнали, что это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов.

Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов. Несмотря на то, что совершенным числам приписывается мистический смысл,числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Лев Николаевич Толстой шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н.Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

6. Примеры задач

1.Найдите все совершенные числа до 1000.

Ответ: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248=496). Всего чисел-3.

2.Найдите совершенное число которое больше 496, но меньше 33550336.

Ответ: 8128.

3.Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Решение: метод от противного. Предположим, что совершенное число, делящееся на 3,не кратно 9. Тогда оно равно 3n, где n не кратно 3. При этом все натуральные делители числа 3n (включая его самого) можно

разбить на пары d и 3d, где d не делится на 3. Следовательно, сумма всех

делителей числа 3n (она равна 6n) делится на 4. Отсюда n кратно 2. Далее

заметим, что числа 3n /2 , n, n/2 и 1 будут различными делителями числа 3n,

их сумма равна 3n + 1 > 3n, откуда следует, что число 3n не может быть

совершенным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно,и утверждение доказано.

4. Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

7.Заключение

Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром. Всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Пифагорейцы искали в этих отношениях и закономерности реального мира, и пути к мистическим тайнам и откровениям. Числам, учили они, свойственно всё – совершенство и несовершенство, конечность и бесконечность.

Рассмотрев одну из групп натуральных чисел - совершенные числа, я сделала вывод, что разнообразие натуральных чисел является бесконечным. Что касается утверждения о том, что среди совершенных чисел встречаются как чётные, так и нечетные числа,то оно не может считаться верным, так как все обнаруженные до сих пор совершенные числа являются чётными. Никто не знает, существует ли хоть одно нечётное совершенное число как и то, что множество совершенных чисел бесконечно.

В дальнейшем я хочу исследовать дружественные числа.

Дружественные числа - два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Примером такой пары чисел является пара 220 и 284 .Частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

8.Список использованной литературы

1. Волина В. В. Занимательная математика для детей./Ред. В. В. Фёдоров; Худ. Т. Фёдорова. – С.-Пб.: Лев и К°, 1996. – 320 с.
2. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 1. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
3. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 2. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
4. Электронная детская энциклопедия Кирилл и Мефодий (версия 2007 год).
5. Электронный сайт WikipediA/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm

Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 …

Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Компанейские числа

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.