Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Дано: PA1A2…An – правильная пирамида Док - ть: 1) А1Р = А2Р = … = АnР 2) ?А1А2Р = ?А2А3Р = … = = ?Аn-1АnР – р/б.
Слайд 7 из презентации «Пирамиды» . Размер архива с презентацией 181 КБ.Геометрия 10 класс
краткое содержание других презентаций«Пирамида 10 класс» - А2. Содержание. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой. Основание. Урок математики в 10 классе по теме «Пирамида». Аn. Вершина пирамиды. МБОУ «СОШ№22 с углубленным изучением английского языка» г.Нижнекамска РТ. А. А3. А1. C.
«Параллелепипед 10 класс» - Смежные грани. C1. Геометрия 10 класс. A1. C. D1. D. Противоположные грани. № 76. Докажите, что AC II A1C1 и BD II B1D1.
«Векторы геометрия 10 класс» - Вектора. Векторы в пространстве. Геометрия 10 класс. CB CM. Шагаева Анна Борисовна МОУ «Барагашская СОШ». Действия с векторами. Вырази вектор. Сумма векторов. Ас аn am. Вектор – как направленный отрезок.
«Сечения параллелепипеда» - 4. ? MNK- сечение параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Урок - практикум в 10 классе Учитель математики Швенк А.В. (MNK) ? (ADD’A’) = MN. (MNK) ? (A’B’C’D’) = NK. Сечения парллелепипеда. Задачи урока. Секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по параллельным отрезкам. Сечения параллелепипеда.
«Вектор в геометрии» - Вычитание векторов. Сложение и вычитание векторов. Правило параллелограмма. Такой вектор называется нулевым. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. На рис. 2 , т.к. и, а, т.к. . - векторы считаются сонаправленными. - векторы противоположно направлены.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- доказать свойства пирамиды с равными рёбрами;
- сформировать умения использовать данную теорему при анализе условия задачи и построения чертежа к задаче;
- сформировать у учащихся умения использовать данную теорему при решении двух шаговых задач.
I. Домашнее задание каждый ученик получает на заранее отпечатанных листочках.
Теория: по учебнику п.14.2, стр.110-111,2)и 3 задачи:
1. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом?. Найти высоту пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами , ,4. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45 0 . Найти высоту пирамиды.
3. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды равна S. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом?. Найти высоту пирамиды.
II. Устная работа по готовым чертежам. (Каждый ребёнок получает лист А-4 с чертежами треугольной пирамиды).
2.1. Докажем 3 (прямые) теоремы. Дано: МАВС треугольная пирамида, МО – высота пирамиды.
1. Ученики доказывают “ простую” теорему из одного условия и одного заключения
2. Используют признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
3. Делают вывод: из того что АО = ВО =СО, следует О – центр окружности, описанной около основания.
4.Учитель уточняет формулировки данного обстоятельства “основание пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания” или “ вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.
(к рис.2,3). Заменить условие теоремы, сохранить её заключение. Опираясь на признаки равенства прямоугольных треугольников, ученики приходят к выводу о том, что можно потребовать равенство углов между боковыми рёбрами и плоскостью основания или равенство углов между боковыми рёбрами и высотой пирамиды.
Итак, из каких условий можно сделать вывод, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания?
2.2. Сформулируем обратные утверждения. Верны ли эти утверждения?
Ученики, используя признаки равенства прямоугольных треугольников, доказывают обратные утверждения. Дано: МАВС треугольная пирамида, МО – высота пирамиды, О – центр окружности, описанной около основания, АО=ВО=СО.
2.3. Формулировка теоремы для n-угольной пирамиды.
Постановка проблемы: справедливо ли данное утверждение для n-угольной пирамиды? Ученикам предлагается доказать три прямых утверждения по аналогии.
Теорема. В n-угольной пирамиде с равными боковыми рёбрами основание высоты совпадает с центром окружности, описанной около основания; высота составляет равные углы с боковыми ребрами; боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.
Рисунок 7.
2.4. Работа после доказательства теоремы (взгляд назад).
| А – Боковые рёбра пирамиды равны В – Боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы С – Боковые рёбра пирамиды составляют с высотой пирамиды равные углы М – Основание пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания |
Учитывая все 6 простых теорем, ученики
подводятся к выводу
2. Учитель показывает утверждении А(В, С,М), ученик формулирует 3 простые теоремы. |
III. Формулировка темы урока. (Свойства пирамиды с равными боковыми ребрами).
Какая же тема сегодняшнего урока? (Любое из утверждений А, В, С, М может быть принято за тему урока).
IV. Составление алгоритма
| Дано: треугольной пирамиды МАВС, МО –
высота пирамиды. Определить высоту пирамиды. Алгоритм решения двух шаговых задач. 1. Наличие в условии задачи одного из условий (А,В,С,). Из этих условий вытекает М. 2. Решить основание (найти радиус окружности, описанной около основания). 3. Решить прямоугольный треугольник, например, МОА. |
1. Составление алгоритма. 2. Актуализация знаний: а) центр окружности, описанной около основания – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) расположение центра описанной окружности в остроугольном, тупоугольном, прямоугольном треугольниках; в) формула S = . |
V. Применение свойств пирамиды с равными боковыми ребрами к решению задач.
| Задача 1.
В основании пирамиды
лежит равнобедренный прямоугольный треугольник
с катетом, равным 2. Боковые рёбра наклонены к
плоскости основания под углом 60 0 . Найти высоту пирамиды.
Рисунок 8 |
1.Каждый ученик получает лист с
условиями задач для решения 2. Стереометрический чертёж не делаем. Наличие условия “ В” Выполняем чертёж основания. О - середина гипотенузы, АВ = 4, R = 2 Строим треугольник АМО, находим МО = 6 Ответ: 6 |
| Задача 2.
Основание пирамиды –
треугольник, две стороны которого 2 и и
образуют угол 45 0 . Каждое боковое ребро
равно .
Найти высоту пирамиды.
Рисунок 9 |
Решение. Работаем по алгоритму: 1. Наличие условия “А”. 2. Выполняем чертёж основания. По теореме косинусов находим третью сторону (),значит, треугольник равнобедренный и прямоугольный. О - середина гипотенузы. Гипотенуза равна 2, R = 1 3. Строим треугольник АМО, находим МО = 3 Ответ: 3 |
| Задача 3 В основании пирамиды лежит
треугольник со сторонами 5, 12, 13. Угол между
высотой и каждым боковым ребром 45 0 . Найти
высоту пирамиды.
Рисунок 10 |
Решение. Работаем по алгоритму: 1. Наличие условия “ С” 2. Выполняем чертёж основания. По теореме, обратной теореме Пифагора выясняем, треугольник – прямоугольный, О - середина гипотенузы, АВ = 13, R = 6,5 3.Строим треугольник АМО -равнобедренный, находим МО =6,5 Ответ: 6,5 |
| Задача4 Основание пирамиды –
равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого равны и образуют угол 120 0 . Каждое
боковое ребро равно . Найти высоту пирамиды.
Рисунок 11 |
Решение.Работаем по алгоритму: 1. Наличие условия “ А” . 2. Выполняем чертёж основания. угол А - тупой, О – вне треугольника, АО – серединный перпендикуляр к ВС, треугольник АОС равносторонний, АВ =, 3.Строим треугольник АМО, МО = = 6 Ответ: 6 |
VI. Итог урока подвести при решении задач:
1. В основании пирамиды лежит трапеция, боковые рёбра равны. Определить вид трапеции (равнобедренная).
2. В основании пирамиды лежит параллелограмм, углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны. Определить вид параллелограмма(прямоугольник).
3. В основании пирамиды лежит ромб. Углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды равны. Найти углы ромба. (90 о).
Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
Понятие пирамиды
Определение 1
Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).
Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники - боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников -- сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка-- вершиной пирамиды.
Виды пирамид
В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).
Рисунок 2.
Еще один вид пирамид -- правильная пирамида.
Введем и докажем свойство правильной пирамиды.
Теорема 1
Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.
Доказательство.
Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).
Рисунок 4.
Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани -- равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание -- правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.
Теорема доказана.
Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.
Определение 3
Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.
Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.
Теорема 2
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.
Доказательство.
Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна
Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то
Теорема доказана.
Еще один вид пирамиды -- усеченная пирамида.
Определение 4
Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).
Рисунок 5. Усеченная пирамида
Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.
Теорема 3
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.
Доказательство.
Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна
Так как все боковые стороны равны, то
Теорема доказана.
Пример задачи
Пример 1
Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.
Решение.
По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.
Тогда, по теореме 3, получим
Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.
Рассмотрим плоскость , многоугольник 
, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами.
Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр
. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Комментарий репетитора
:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.
Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным
, а второй реберным
. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.
Формула объема пирамиды
:
1) 
, где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) 
, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.
Свойство основания высоты пирамиды:
Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням
Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.
Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте
