Основанием правильной пирамиды может быть трапеция. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
• боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
• боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
• высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
• основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
• кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых граней имеют равную длину;
• площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

Простейшая пирамида.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Дано: PA1A2…An – правильная пирамида Док - ть: 1) А1Р = А2Р = … = АnР 2) ?А1А2Р = ?А2А3Р = … = = ?Аn-1АnР – р/б.

Геометрия 10 класс

«Пирамида 10 класс» - А2. Содержание. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой. Основание. Урок математики в 10 классе по теме «Пирамида». Аn. Вершина пирамиды. МБОУ «СОШ№22 с углубленным изучением английского языка» г.Нижнекамска РТ. А. А3. А1. C.

«Параллелепипед 10 класс» - Смежные грани. C1. Геометрия 10 класс. A1. C. D1. D. Противоположные грани. № 76. Докажите, что AC II A1C1 и BD II B1D1.

«Векторы геометрия 10 класс» - Вектора. Векторы в пространстве. Геометрия 10 класс. CB CM. Шагаева Анна Борисовна МОУ «Барагашская СОШ». Действия с векторами. Вырази вектор. Сумма векторов. Ас аn am. Вектор – как направленный отрезок.

«Сечения параллелепипеда» - 4. ? MNK- сечение параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Урок - практикум в 10 классе Учитель математики Швенк А.В. (MNK) ? (ADD’A’) = MN. (MNK) ? (A’B’C’D’) = NK. Сечения парллелепипеда. Задачи урока. Секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по параллельным отрезкам. Сечения параллелепипеда.

«Вектор в геометрии» - Вычитание векторов. Сложение и вычитание векторов. Правило параллелограмма. Такой вектор называется нулевым. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. На рис. 2 , т.к. и, а, т.к. . - векторы считаются сонаправленными. - векторы противоположно направлены.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• доказать свойства пирамиды с равными рёбрами;
• сформировать умения использовать данную теорему при анализе условия задачи и построения чертежа к задаче;
• сформировать у учащихся умения использовать данную теорему при решении двух шаговых задач.

I. Домашнее задание каждый ученик получает на заранее отпечатанных листочках.

Теория: по учебнику п.14.2, стр.110-111,2)и 3 задачи:

1. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом?. Найти высоту пирамиды.

2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами , ,4. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45 0 . Найти высоту пирамиды.

3. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды равна S. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом?. Найти высоту пирамиды.

II. Устная работа по готовым чертежам. (Каждый ребёнок получает лист А-4 с чертежами треугольной пирамиды).

2.1. Докажем 3 (прямые) теоремы. Дано: МАВС треугольная пирамида, МО – высота пирамиды.

1. Ученики доказывают “ простую” теорему из одного условия и одного заключения

2. Используют признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

3. Делают вывод: из того что АО = ВО =СО, следует О – центр окружности, описанной около основания.

4.Учитель уточняет формулировки данного обстоятельства “основание пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания” или “ вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.

(к рис.2,3). Заменить условие теоремы, сохранить её заключение. Опираясь на признаки равенства прямоугольных треугольников, ученики приходят к выводу о том, что можно потребовать равенство углов между боковыми рёбрами и плоскостью основания или равенство углов между боковыми рёбрами и высотой пирамиды.

Итак, из каких условий можно сделать вывод, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания?

2.2. Сформулируем обратные утверждения. Верны ли эти утверждения?

Ученики, используя признаки равенства прямоугольных треугольников, доказывают обратные утверждения. Дано: МАВС треугольная пирамида, МО – высота пирамиды, О – центр окружности, описанной около основания, АО=ВО=СО.

2.3. Формулировка теоремы для n-угольной пирамиды.

Постановка проблемы: справедливо ли данное утверждение для n-угольной пирамиды? Ученикам предлагается доказать три прямых утверждения по аналогии.

Теорема. В n-угольной пирамиде с равными боковыми рёбрами основание высоты совпадает с центром окружности, описанной около основания; высота составляет равные углы с боковыми ребрами; боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.

Рисунок 7.

2.4. Работа после доказательства теоремы (взгляд назад).

III. Формулировка темы урока. (Свойства пирамиды с равными боковыми ребрами).

Какая же тема сегодняшнего урока? (Любое из утверждений А, В, С, М может быть принято за тему урока).

IV. Составление алгоритма

V. Применение свойств пирамиды с равными боковыми ребрами к решению задач.

VI. Итог урока подвести при решении задач:

1. В основании пирамиды лежит трапеция, боковые рёбра равны. Определить вид трапеции (равнобедренная).

2. В основании пирамиды лежит параллелограмм, углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны. Определить вид параллелограмма(прямоугольник).

3. В основании пирамиды лежит ромб. Углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды равны. Найти углы ромба. (90 о).

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным , а второй реберным . К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Нам хорошо известны великие египетские пирамиды, каждый может представить себе, как они выглядят. Это представление и поможет нам разобраться в особенностях такой геометрической фигуры, как пирамида.

Пирамида – это многогранник, состоящий из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. На рис. 1 изображена пирамида SABCD. Четырёхугольник ABCD – основание пирамиды, точка S – вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD – рёбра пирамиды.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рис. 1 SO – высота пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник. На рисунке 1 изображена четырёхугольная пирамида. Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Боковые рёбра у правильной пирамиды равны, а, следовательно, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В правильной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой.

Пирамида обладает рядом свойств.

Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, и, наоборот, если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Рассмотрим формулы для нахождения объёма, площади поверхности пирамиды.

Объём пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

где S – площадь основания, а h – высота.

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, необходимо воспользоваться формулой:

S p = S b + S o ,

где S p – площадь полной поверхности, S b – площадь боковой поверхности, S o – площадь основания.

Усечённой пирамида – это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Грани усечённой пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усечённой пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основаниями усечённой пирамиды являются подобные многоугольники, боковыми гранями – трапеции. Усечённая пирамида, которая получается из правильной пирамиды, называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усечённой трапеции представляют собой равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.