Уравнения с параметром. Уравнения с параметрами

Задание 1 #6329

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

1) \(y=x\) . Подставим в первое уравнение и получим: \ (заметим, что в случае \(y=-x\) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\) . Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\) .

2) \(y=-x\) . Получаем квадратное уравнение: \ Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , откуда \(a\in \left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\) .

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Пусть \(x_0\) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда \ Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\) , либо \(a=0\) .
Если \(a=0\) , то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\) – их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \(a=-1\) или \(a=-0,6\) . Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.

Учитывая все это, в ответ пойдут:

Ответ:

\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)

Задание 2 #4032

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :

(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\) графиком \(y\) является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\) , а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\) , то уравнение выглядит как \(y=0\) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Условия касания графиков \(y\) и \(g\) в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\) или \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin{cases} 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\] Из данной системы \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Получили первое значение параметра \(a\) .

2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Найдем \(a\) , при которых парабола \(y\) проходит через точку \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\) с прямой \(h=-2x-1\) – это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\) .
Таким образом, получили еще одно значение параметра.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \

Ответ:

\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)

Задание 3 #4013

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\) : \ Дискриминант равен \(D=9y^2\) , следовательно, \ Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\ &y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\) и радиусом \(R=\sqrt5a^2\) . Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\) :


Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\) .

2) Так как у прямой \(y=kx\) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(k\) , то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\) равен \(0,5\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\) ), прямой \(y=2x\) – равен \(2\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\) ). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta=1\) , следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\) . Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Это значит, что угол между \(y=2x\) и положительным направлением \(Oy\) равен углу между \(y=0,5x\) и положительным направлением \(Ox\) :


А так как прямая \(y=x\) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\) и \(Oy\) равны по \(45^\circ\) ), то углы между \(y=x\) и прямыми \(y=2x\) и \(y=0,5x\) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\) и \(y=0,5x\) симметричны друг другу относительно \(y=x\) , следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\) , то окружность вырождается в точку \((0;0)\) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:


Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\) , а в третьей \(a<0\) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.


Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\) , \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Тогда \ Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\] Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\, 45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot \mathrm{tg}\,\alpha}\] следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}} \quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\) . Следовательно, ответ: \

Ответ:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Задание 4 #3278

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \ Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\) . Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 5 #3252

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \(\) .

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\) , так как уравнение принимает вид \(0=0\) . Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\) , нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\) , то есть \(x=\frac{a+1}2\) . Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \ Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\) .
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \(\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \ Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\) .

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 6 #3238

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственный корень на отрезке \(.\)

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \

1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.

3) Пусть \(a>0\) . Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\) . Следовательно, если \(a>1\) , то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0 Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Исследуем ее.
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\) . Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.

Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \(\) , нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\) , то ответ \(a\in (0;1]\) . Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\) , корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\) . Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \(\) .
Рассмотрим три случая:

1) \(a>0\) . Тогда \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\) , или совпадает с \(x_1\) , или удовлетворяет \((1)\) , но не входит в отрезок \(\) (то есть меньше \(0\) );
- \(x_1\) не удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\) .
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\) ). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\) , получим: \

2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990