Величину угла между двумя различными плоскостями можно определить для любого взаимного расположения плоскостей.
Тривиальный случай если плоскости параллельны. Тогда угол между ними считается равным нулю.
Нетривиальный случай если плоскости пересекаются. Этому случаю и посвящено дальнейшее обсуждение. Сначала нам понадобится понятие двугранного угла.
9.1 Двугранный угол
Двугранный угол это две полуплоскости с общей прямой (которая называется ребром двугранного угла). На рис. 50 изображён двугранный угол, образованный полуплоскостями и; ребром этого двугранного угла служит прямая a, общая для данных полуплоскостей.
Рис. 50. Двугранный угол
Двугранный угол можно измерять в градусах или радианах словом, ввести угловую величину двугранного угла. Делается это следующим образом.
На ребре двугранного угла, образованного полуплоскостями и, возьмём произвольную точку M. Проведём лучи MA и MB, лежащие соответственно в данных полуплоскостях и перпендикулярные ребру (рис. 51 ).
Рис. 51. Линейный угол двугранного угла
Полученный угол AMB это линейный угол двугранного угла. Угол " = \AMB как раз и является угловой величиной нашего двугранного угла.
Определение. Угловая величина двугранного угла это величина линейного угла данного двугранного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу (ведь они получаются друг из друга параллельным сдвигом). Поэтому данное определение корректно: величина " не зависит от конкретного выбора точки M на ребре двугранного угла.
9.2 Определение угла между плоскостями
При пересечении двух плоскостей получаются четыре двугранных угла. Если все они имеют одинаковую величину (по 90), то плоскости называются перпендикулярными; угол между плоскостями тогда равен 90 .
Если не все двугранные углы одинаковы (то есть имеются два острых и два тупых), то углом между плоскостями называется величина острого двугранного угла (рис. 52 ).
Рис. 52. Угол между плоскостями
9.3 Примеры решения задач
Разберём три задачи. Первая простая, вторая и третья примерно на уровне C2 на ЕГЭ по математике.
Задача 1. Найдите угол между двумя гранями правильного тетраэдра.
Решение. Пусть ABCD правильный тетраэдр. Проведём медианы AM и DM соответствующих граней, а также высоту тетраэдра DH (рис. 53 ).
Рис. 53. К задаче 1
Будучи медианами, AM и DM являются также высотами равносторонних треугольников ABC и DBC. Поэтому угол " = \AMD есть линейный угол двугранного угла, образованного гранями ABC и DBC. Находим его из треугольника DHM:
1 AM | ||||||
Ответ: arccos 1 3 .
Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка K середина ребра SA. Найдите угол между плоскостями
Решение. Прямая BC параллельна AD и тем самым параллельна плоскости ADS. Поэтому плоскость KBC пересекает плоскость ADS по прямой KL, параллельной BC (рис. 54 ).
Рис. 54. К задаче 2
При этом KL будет также параллельна прямой AD; следовательно, KL средняя линия треугольника ADS, и точка L середина DS.
Проведём высоту пирамиды SO. Пусть N середина DO. Тогда LN средняя линия треугольника DOS, и потому LN k SO. Значит, LN перпендикуляр к плоскости ABC.
Из точки N опустим перпендикуляр NM на прямую BC. Прямая NM будет проекцией наклонной LM на плоскость ABC. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что LM также перпендикулярна BC.
Таким образом, угол " = \LMN является линейным углом двугранного угла, образованного полуплоскостями KBC и ABC. Будем искать этот угол из прямоугольного треугольника LMN.
Пусть ребро пирамиды равно a. Сначала находим высоту пирамиды:
SO = p | ||||||||||||||||||||
Решение. Пусть L точка пересечения прямых A1 K и AB. Тогда плоскость A1 KC пересекает плоскость ABC по прямой CL (рис.55 ).
A 
C
Рис. 55. К задаче 3
Треугольники A1 B1 K и KBL равны по катету и острому углу. Следовательно, равны и другие катеты: A1 B1 = BL.
Рассмотрим треугольник ACL. В нём BA = BC = BL. Угол CBL равен 120 ; стало быть, \BCL = 30 . Кроме того, \BCA = 60 . Поэтому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .
Итак, LC ? AC. Но прямая AC служит проекцией прямой A1 C на плоскость ABC. По теореме о трёх перпендикулярах заключаем тогда, что LC ? A1 C.
Таким образом, угол A1 CA линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями A1 KC и ABC. Это и есть искомый угол. Из равнобедренного прямоугольного треугольника A1 AC мы видим, что он равен 45 .
При решении геометрических задач в пространстве часто встречаются такие, где необходимо рассчитать углы между разными пространственными объектами. В данной статье рассмотрим вопрос нахождения углов между плоскостями и между ними и прямой.
Прямая в пространстве
Известно, что совершенно любая прямая на плоскости может быть определена следующим равенством:
Здесь a и b - некоторые числа. Если представить тем же самым выражением прямую в пространстве, то получится уже плоскость, параллельная оси z. Для математического определения пространственной прямой применяют иной способ решения, чем в двумерном случае. Он заключается в использовании понятия "направляющий вектор".
Примеры решения задач на определение угла пересечения плоскостей
Зная, как найти между плоскостями угол, решим следующую задачу. Даны две плоскости, уравнения которых имеют вид:
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
Чему между плоскостями равен угол?
Чтобы ответить на вопрос задачи, вспомним, что коэффициенты, стоящие при переменных в уравнении плоскости общем, являются координатами вектора направляющего. Для указанных плоскостей имеем следующие координаты их нормалей:
n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)
Теперь найдем произведение скалярное этих векторов и их модули, имеем:
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
Теперь можно подставить найденные числа в приведенную в предыдущем пункте формулу. Получаем:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Полученное значение соответствует острому углу пересечения плоскостей, указанных в условии задачи.
Теперь рассмотрим другой пример. Даны две плоскости:
Пересекаются ли они? Выпишем значения координат их направляющих векторов, посчитаем скалярное произведение их и модули:
n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18
Тогда угол пересечения равен:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .
Этот угол говорит о том, что плоскости не пересекаются, а являются параллельными. Тот факт, что они не совпадают друг с другом проверить просто. Возьмем для этого произвольную точку, принадлежащую первой из них, например, P(0; 3; 2). Подставим ее координаты во второе уравнение, получим:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
То есть точка P принадлежит только первой плоскости.
Таким образом, две плоскости параллельными являются, когда таковыми будут их нормали.
Плоскость и прямая
В случае рассмотрения взаимного расположения между плоскостью и прямой существует несколько больше вариантов, чем с двумя плоскостями. Связан этот факт с тем, что прямая является одномерным объектом. Прямая и плоскость могут быть:
- взаимно параллельными, в этом случае плоскость не пересекает прямую;
- последняя может принадлежать плоскости, при этом она также будет параллельна ей;
- оба объекта могут пересекаться под некоторым углом.
Рассмотрим сначала последний случай, поскольку он требует введения понятия об угле пересечения.
Прямая и плоскость, значение угла между ними
Если плоскость прямая пересекает, то она называется наклонной по отношению к ней. Точку пересечения принято называть основанием наклонной. Чтобы определить между этими геометрическими объектами угол, необходимо опустить из любой точки прямой перпендикуляр на плоскость. Тогда точка пересечения перпендикуляра с плоскостью и место пересечения с ней наклонной образуют прямую. Последняя называется проекцией исходной прямой на рассматриваемую плоскость. Острый и проекцией ее является искомым.
Несколько запутанное определение угла между плоскостью и наклонной прояснит рисунок ниже.
Здесь угол ABO - это угол между AB прямой и a плоскостью.
Чтобы записать формулу для него, рассмотрим пример. Пусть имеется прямая и плоскость, которые описываются уравнениями:
(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Рассчитать искомый угол для этих объектов можно легко, если найти скалярное произведение между направляющими векторами прямой и плоскости. Полученный острый угол следует вычесть из 90 o , тогда он получается между прямой и плоскостью.
Рисунок выше демонстрирует описанный алгоритм нахождения рассматриваемого угла. Здесь β - это угол между нормалью и прямой, а α - между прямой и ее проекцией на плоскость. Видно, что их сумма равна 90 o .
Выше была представлена формула, дающая ответ на вопрос, как между плоскостями найти угол. Теперь приведем соответствующее выражение для случая прямой и плоскости:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Модуль в формуле позволяет вычислять только острые углы. Функция арксинуса появилась вместо арккосинуса благодаря использованию соответствующей формулы приведения между тригонометрическими функциями (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).
Задача: плоскость пересекает прямую
Теперь покажем, как работать с приведенной формулой. Решим задачу: необходимо вычислить угол между осью y и плоскостью, заданной уравнением:
Эта плоскость показана на рисунке.
Видно, что она пересекает оси y и z в точках (0; -12; 0) и (0; 0; 12) соответственно и параллельна оси x.
Направляющий вектор прямой y имеет координаты (0; 1; 0). Вектор, перпендикулярный заданной плоскости, характеризуется координатами (0; 1; -1). Применяем формулу для угла пересечения прямой и плоскости, получаем:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o
Задача: параллельная плоскости прямая
Теперь решим аналогичную предыдущей задачу, вопрос которой поставлен иначе. Известны уравнения плоскости и прямой:
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Необходимо выяснить, являются ли эти геометрические объекты параллельными друг другу.
Имеем два вектора: направляющий прямой равен (0; 2; 2) и направляющий плоскости равен (1; 1; -1). Находим их скалярное произведение:
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
Полученный ноль говорит о том, что угол между этими векторами равен 90 o , что доказывает прямой и плоскости параллельность.
Теперь проверим, является эта прямая только параллельной или же еще и лежит в плоскости. Для этого следует выбрать произвольную точку на прямой и проверить, принадлежит ли она плоскости. Например, примем λ = 0, тогда точка P(1; 0; 0) прямой принадлежит. Подставляем в уравнение плоскости P:
Точка P плоскости не принадлежит, а значит, и вся прямая в ней не лежит.
Где важно знать углы между рассмотренными геометрическими объектами?
Приведенные выше формулы и примеры решения задач представляют собой не только теоретический интерес. Они часто применяются для определения важных физических величин реальных объемных фигур, например призмы или пирамиды. Важно уметь определить между плоскостями угол при расчете объемов фигур и площадей их поверхностей. При этом, если в случае прямой призмы можно не использовать эти формулы для определения указанных величин, то для любого вида пирамиды их применение оказывается неизбежным.
Ниже рассмотрим пример использования изложенной теории для определения углов пирамиды с квадратным основанием.
Пирамида и ее углы
Ниже рисунок демонстрирует пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной а. Высота фигуры составляет h. Нужно найти два угла:
- между боковой поверхностью и основанием;
- между боковым ребром и основанием.
Чтобы решить поставленную задачу, сначала следует ввести систему координат и определить параметры соответствующих вершин. На рисунке показано, что начало координат совпадает с точкой в центре квадратного основания. В этом случае плоскость основания описывается уравнением:
То есть для любых x и y значение третьей координаты всегда равно нулю. Боковая плоскость ABC пересекает ось z в точке B(0; 0; h), а ось y в точке с координатами (0; a/2; 0). Ось x она не пересекает. Это означает, что уравнение плоскости ABC можно записать в виде:
y / (a / 2) + z / h = 1 или
2 * h * y + a * z - a * h = 0
Вектор AB¯ является боковым ребром. Координаты его начала и конца равны: A(a/2; a/2; 0) и B(0; 0; h). Тогда координаты самого вектора:
Мы нашли все необходимые уравнения и вектора. Теперь остается воспользоваться рассмотренными формулами.
Рассчитаем сначала в пирамиде угол между плоскостями основания и боковой стороны. Соответствующие нормальные вектора равны: n 1 ¯(0; 0; 1) и n 2 ¯(0; 2*h; a). Тогда угол составит:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))
Угол между плоскостью и ребром AB будет равен:
β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))
Остается подставить конкретные значения стороны основания a и высоты h, чтобы получить необходимые углы.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Использование метода координат при вычислении угла
между плоскостями
Наиболее общий метод нахождения угла между плоскостями - метод координат (иногда - с привлечением векторов). Его можно использовать тогда, когда испробованы все остальные. Но бывают ситуации, в которых метод координат имеет смысл применять сразу же, а именно тогда, когда система координат естественно связана с многогранником, указанным в условии задачи, т.е. явно просматриваются три попарно перпендикулярные прямые, на которых можно задать оси координат. Такими многогранниками являются прямоугольный параллелепипед и правильная четырехугольная пирамида. В первом случае система координат может быть задана выходящими из одной вершины ребрами (рис.1), во втором - высотой и диагоналями основания (рис. 2)
Применение метода координат состоит в следующем.
Вводится прямоугольная система координат в пространстве. Желательно ввести ее «естественным» образом - «привязать» к тройке попарно перпендикулярных прямых, имеющих общую точку.
Для каждой из плоскостей, угол между которыми ищется, составляется уравнение. Проще всего составить такое уравнение, зная координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой.
Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах + By + Cz + D = 0.
Коэффициенты А, В, С в этом уравнении являются координатами нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). Определяем затем длины и скалярное произведение нормальных векторов к плоскостям, угол между которыми ищется. Если координаты этих векторов (А 1 , В 1 ; С 1 ) и (А 2 ; В 2 ; С 2 ), то искомый угол вычисляется по формуле
Замечание. Необходимо помнить, что угол между векторами (в отличие от угла между плоскостями) может быть тупым, и чтобы избежать возможной неопределенности, в числителе правой части формулы стоит модуль.
Решите методом координат такую задачу.
Задача 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка К - середина ребра AD, точка L - середина ребра CD. Чему равен угол между плоскостями А 1 KL и A 1 AD?
Решение . Пусть начало системы координат находится в точке А, а оси координат идут вдоль лучей AD, АВ, АА 1 (рис. 3). Ребро куба примем равным 2 (удобно делить пополам). Тогда координаты точек A 1 , К, L таковы: А 1 (0; 0; 2), К(1; 0; 0), L(2; 1; 0).
Рис. 3
Запишем уравнение плоскости А 1 К L в общем виде. Затем подставим в него координаты выбранных точек этой плоскости. Получим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:
Выразим коэффициенты А, В, С через D и придем к уравнению
Разделив обе его части на D (почему D = 0?) и домножив затем на -2, получим уравнение плоскости A 1 KL: 2х - 2 у + z - 2 = 0. Тогда нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (2: -2; 1) . Уравнение плоскости A 1 AD таково: y=0, а координаты нормального вектора к ней, например, (0; 2: 0) . Согласно приведенной выше формуле для косинуса угла между плоскостями получаем:
