Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел :
- Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. - Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. - Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. - Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. - Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. - Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. - Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9. - Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0. - Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7. - Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Признаки делимости на составное число
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
В этой статье мы рассмотрим признаки делимости чисел и как использовать признаки делимости при решении задач.
Признаки делимости чисел.
1. Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8. Числа, которые делятся на 2 называются четными, соответственно, числа, которые на 2 не делятся, называются нечетными.
2. Признак делимости на 5 . Число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.
3. Признак делимости на 10 . Число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.
Вообще, если двумя последними цифрами записи числа являются нули, то число делится на 100, если три последние цифры записи числа нули, то на 1000 и т.д.
4. Признак делимости на 4 . Если две последние цифры записи числа образуют число, которое делится на 4, то исходное число делится на 4.
Например, две последние цифры числа 2116 образуют число 16, которое делится на 4, следовательно, 2116 делится на 4.
5. Признак делимости на 3 и на 9 . Если сумма цифр числа делится на 3 (соответственно на 9), то число делится на 3 (соответственно на 9).
Например, число 312 делится на 2 (последняя цифра 2) и на 3 (сумма цифр делится на 3), и, следовательно, на 6.
Вообще, если числа - взаимно простые (то есть не имеют общих делителей) и данное число делится на каждое из этих чисел, то оно делится на произведение этих чисел
6. Признак делимости на 7 . Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.
Например, число 427 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 42, 42х3+7=126+7=133; 133 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 13, 13х3+3==39+3=42.
7. Признак делимости на 11 . Число делится на 11, если модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11, или если модуль разности равен нулю.
Например, число 12397 делится на 11, т.к. |(1+3+7)-(2+9)|=0
Чтобы установить делимость чисел, пользуются следующими признаками делимости суммы и произведения :
1. Сумма чисел делится на данное число, если каждое слагаемое суммы делится на это число.
2. Произведение чисел делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на это число.
Пример 1. Доказать, что число 
кратно 5.
Решение. Число кратно 5, если последняя цифра в записи числа равна 0 или 5.
Если число оканчивается цифрой 1, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 1, следовательно, число оканчивается цифрой 1.
Если число оканчивается цифрой 6, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 6, значит, число оканчивается цифрой 6.
Таким образом, разность оканчивается цифрой 5, и, следовательно, делится на 5.
Пример 2. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.
а) 1. Число делится на 2 и 5, следовательно, последняя цифра - 0
2. Числа 2, 5, 9 и 11 не имеют общих делителей, следовательно искомое число должно делиться на произведение этих чисел, то есть на 990.
Наибольшее четырехзначное число, которое делится на 990 и оканчивается на 0 - это 9900.
По условию нам надо найти число, все цифры которого различны. Предыдущее число, которое делится на 2, 5, 9 и 11 равно 9900-990=8910. Это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 8910
Пример 3. Использовав все цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наибольшее девятизначное число, делящееся на 11.
Решение. В нашем числе модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места должен делиться на 11.
Число должно быть наибольшим, поэтом цифры, стоящие на первых местах должны быть наибольшими. Пусть число имеет вид Чтобы число делилось на 11, нужно, чтобы значение выражения было кратно 11 или равно нулю.
Упростим выражение, получим:
Поскольку - это цифры, и самые большие уже задействованы, скомбинируем цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы При этом числа в каждой группе: и должны быть расположены в порядке убывания. Подходит такая комбинация:
Ответ: 987652413
Признаками делимости пользуются при разложении числа на простые множители.
Натуральное число называется простым, если оно имеет только 2 различных делителя: единицу и само число .
Например, простыми числами являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.
Внимание! Число 1 не является простым и не является составным.
Чтобы найти последовательность простых чисел, пользуются алгоритмом, который называется решето Эратосфена :
1. Выписываем ряд натуральных чисел:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...
2.Зачеркиваем числа, кратные числу 2 - каждое второе число после 2:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25,...
3. Зачеркиваем числа, кратные числу 3 - каждое третье число после 3:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25,...
4. Зачеркиваем числа, кратные числу 5 - каждое пятое число после 5:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 ,...
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ,...
Основная теорема арифметики:
Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых сомножителей, причем единственным способом.
Пример 4. Разложить число 4356 на простые множители.
Решение: Применим признаки делимости. Последняя цифра записи числа - четная, разделим число на 2. Будем делить на 2, пока возможно делить нацело.
Число 1089 на 2 уже не делится, но делится на 3 (сумма цифр числа равна 18). Будем делить на 3, пока это возможно.
121 делится на 11.
Итак, 
Это равенство называется разложением числа 4356 на простые множители.
Разложение на простые множители широко применяется при решении самых разных задач.
Пример 5. Сократить дробь
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Пример 6. Извлечь квадратный корень:
Воспользуемся разложением числа 4356 на простые множители:
Пример 7. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого - квадрат, треть - куб, а пятая часть - пятая степень.
Наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям представляет из себя произведение степеней чисел 2, 3, 5.
Пусть это число имеет вид:
а) Половина числа - квадрат, следовательно, n-1, m и k - четные числа.
б) Треть числа - куб, следовательно, n, m-1 и k делятся на 3.
в) Пятая часть числа - пятая степень, следовательно, n, m и k-1 - кратны 5.
k кратно 2 и 3, следовательно k может быть равно 6 (удовлетворяет а) и б) ), 6-1 делится на 5 (удовлетворяет в) ).
n кратно 3 и 5, следовательно, n может быть равно 15 (удовлетворяет в) и б) ), 15-1 делится на 2 (удовлетворяет а) ).
m - кратно 5 и 2, следовательно, m может быть равно 10 (удовлетворяет в) и а) ), 10-1 делится на 3 (удовлетворяет б) ).
Из школьной программы многие помнят, что существуют признаки делимости. Под данным словосочетанием понимают правила, которые позволяют достаточно быстро определить, является ли число кратным заданному, не совершая при этом непосредственную арифметическую операцию. Данный способ основан на действиях, совершаемых с частью цифр из записи в позиционной
Самые простые признаки делимости многие помнят из школьной программы. Например, то, что на 2 делятся все числа, последняя цифра в записи которых четная. Данный признак наиболее легко запомнить и применять на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел применяется следующее правило, которое можно показать на таком примере. Необходимо узнать, будет ли 273 кратно трем. Для этого выполняем следующую операцию: 2+7+3=12. Полученная сумма делится на 3, следовательно, и 273 будет делиться на 3 таким образом, что в результате получится целое число.
Признаки делимости на 5 и 10 будут следующие. В первом случае запись будет оканчиваться на цифры 5 или 0, во втором случае только на 0. Для того чтобы узнать, кратно ли делимое четырем, следует поступить следующим образом. Необходимо вычленить две последние цифры. Если это два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то и все делимое будет кратно делителю. Нужно отметить, что перечисленные признаки используются только в десятичной системе. Они не применяются в других способах счисления. В таких случаях выводятся свои правила, которые зависят от основания системы.
Признаки деления на 6 следующие. 6 в том случае, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи. Полученный результат вычитается из первоначального числа, в котором не учитывается последняя цифра. Данное правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратно ли 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Далее выполняется следующее действие: 36-8=28. Полученный результат кратен 7, а, следовательно, и первоначальное число 364 можно разделить на 7.
Признаки делимости на 8 звучат следующим образом. Если три последних цифры в записи числа образуют число, которое кратно восьми, то и само число будет делиться на заданный делитель.
Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По перечисленным выше признакам делимости необходимо узнать, кратно ли число 3 и 4. Если они могут выступать одновременно делителями для числа, то с заданным делимым можно проводить и операцию деления на 12. Подобное правило применяется и для других сложных чисел, например, пятнадцати. При этом делителями должны выступать 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, следует посмотреть, кратно ли оно 7 и 2. Так, можно рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 разделить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее мы 8 умножаем на 2, получаем 16. Из 65 нужно вычесть 16. Результат 49 делится на 7, как и все число. Следовательно, 658 можно разделить и на 14.
Если две последние цифры в заданном числе делятся на 25, то и все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел признак делимости на 11 будет звучать следующим образом. Необходимо узнать, кратна ли заданному делителю разность сумм цифр, которые стоят на нечетных и четных местах в его записи.
Нужно отметить, что признаки делимости чисел и их знание очень часто значительно упрощает многие задачи, которые встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни. Благодаря умению определить, кратно ли число другому, можно быстро выполнять различные задания. Помимо этого, применение данных способов на занятиях математики поможет развивать у студентов или школьников, будет способствовать развитию определенных способностей.
Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:
- На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
- На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
- На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
- На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
- На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
- Признак делимости на 7 часто пропускается;
- Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
- Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
- Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
- Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.
Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).
Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.
Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.
Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.
Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7
Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).
Значит, и число 65835 делится на 7.
На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.
Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.
Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.
Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.
Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.
Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.
Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.
Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.
Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.
Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.
Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.
Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.
Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.
- Для14: на 2 и на 7;
- Для 15: на 3 и на 5;
- Для 18: на 2 и на 9;
- Для 21: на 3 и на 7;
- Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
- Для 24: на 3 и на 8;
- Для 26: на 2 и на 13;
- Для 28: на 4 и на 7.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.
Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.
Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.
Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.
Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.
Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.
Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.
Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,
Продолжим знакомство с признаками делимости . Сейчас мы изучим признак делимости на 6 . Сначала приведем его формулировку. Дальше рассмотрим примеры применения признака делимости на 6 . После этого докажем признак делимости на 6 . В заключение остановимся на примерах, в которых доказывается делимость на 6 значений некоторых выражений.
Навигация по странице.
Признак делимости на 6, примеры
Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3 . Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а также сумма цифр в записи числа делится на 3 , то такое число делится на 6 ; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6 . Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3 .
Итак, признак делимости на 6 применяется в два этапа:
- На первом этапе проверяется делимость числа на 2 . Для этого рассматривается последняя цифра в записи числа. Если запись числа оканчивается цифрой 2 , то это число делится на 2 , и для дальнейшей проверки его делимости на 6 переходим ко второму этапу. Если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то число не делится на 2 , следовательно, не делится и на 6 .
- На втором этапе проверяется делимость числа на 3 . Для этого вычисляется сумма цифр исходного числа и проверяется, делится ли она на 3 (например, при помощи признака делимости на 3 ). Если сумма цифр делится на 3 , то число делится на 3 , и, учитывая его делимость на 2 (установленную на предыдущем этапе), можно делать вывод о делимости числа на 6 . Если же сумма цифр исходного числа не делится на 3 , то это число не делится на 3 , следовательно, не делится и на 6 .
Теперь можно рассмотреть конкретные примеры применения признака делимости на 6 .
Пример.
Делится ли число 8 813 на 6 ?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6 . Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3 , то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.
Ответ:
Нет.
Пример.
Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?
Решение.
Число 934 оканчивается цифрой 4 , поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на 3 . Имеем 9+3+4=16 , а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.
Ответ:
Нет.
Пример.
Делится ли число −7 269 708 на 6 ?
Решение.
Последней цифрой в записи данного числа является 8 , значит первое условие признака делимости на 6 выполнено. Теперь находим сумму цифр числа −7 269 708 , имеем 7+2+6+9+7+0+8=39 . Так как 39 делится на 3 (39:3=13 ), то можно делать вывод о делимости исходного числа на 6 .
Ответ:
Да, делится.
В заключение этого пункта отметим, что для проверки делимости заданного числа на 6 можно выполнить деление непосредственно, а не прибегать к признаку делимости на 6 .
Доказательство признака делимости на 6
Приведем доказательство признака делимости на 6 . Для удобства используем формулировку этого признака в форме необходимого и достаточного условия.
Теорема.
Для делимости целого числа a на 6 необходимо и достаточно, чтобы число a делилось на 2 и на 3 .
Доказательство.
Сначала докажем необходимость, то есть докажем, что если целое число a делится на 6 , то оно делится на 2 и на 3 .
Для этого нам понадобится следующее свойство делимости : если целое число a делится на b , то произведение m·a , где m – любое целое число, тоже делится на b .
Так как a делится на 6 , то понятие делимости позволяет нам записать равенство a=6·q , где q – некоторое целое число. В записанном произведении множитель 6 делится и на 2 и на 3 , тогда из указанного выше свойства делимости следует, что произведение 6·q делится и на 2 и на 3 . Этим доказана необходимость.
Чтобы признак делимости на 6 оказался полностью доказанным, осталось доказать достаточность. Докажем, что если целое число a делится на 2 и на 3 , то оно делится на 6 .
Здесь нам потребуется теорема из статьи основная теорема арифметики . Вот ее формулировка: если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p , то хотя бы один множитель делится на p .
Так как целое число a делится на 2 , то существует такое целое число q , что a=2·q . Но целое число a=2·q делится и на 3 , откуда 2·q должно делиться на 3 . Так как 2 на 3 не делится, то в силу указанной выше теоремы на 3 должно делиться q . Тогда существует такое целое число q 1 , что q=3·q 1 . Следовательно, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1 . Из полученного равенства следует делимость числа a на 6 . Этим доказана достаточность.
Другие случаи делимости на 6
В этом пункте мы остановимся на способах доказательства делимости на 6 значения заданного при указанном значении переменной. В этих случаях (когда целое число задано не в явном виде) непосредственное деление и применение признака делимости на 6 часто невозможно, поэтому нужен другой подход к решению.
Один из подходов основан на утверждении: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение делится на это число. То есть, если заданное выражение представить в виде произведения, в котором один из множителей будет делиться на 6 , то этим будет доказана делимость на 6 исходного выражения. Осталось обговорить способы представления в виде произведения.
Иногда представить заданное выражение в виде нужного произведения позволяет . Рассмотрим пример.
Пример.
Делится ли на 6 значение выражения при некотором натуральном n .
Решение.
Число 7
равно сумме 6+1
, поэтому . Теперь применим формулу бинома Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:
Так мы пришли к произведению, которое делится на 6 , так как оно содержит множитель 6 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n (так как сумма и произведение натуральных чисел есть натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения при любом натуральном n делится на 6 .
Ответ:
Да.
Если выражение задано в виде многочлена, то иногда получить произведение с множителем, делящимся на 6 , позволяет . После чего переменной n в полученном разложении придаются значения n=6·m , n=6·m+1 , n=6·m+2 , …, n=6·m+5 , где m – целое число. Если будет показана делимость при каждом таком n , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 6 при любом целом n .
Пример.
Докажите, что при любом целом n значение выражения делится на 6 .
Решение.
Разложение на множители данного выражения имеет вид 
.
При n=6·m
имеем 
. В полученном произведении содержится множитель 6
, поэтому оно делится на 6
при любом целом m
.
