Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.
Инструкция
Если графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью ОX угол α (угол наклона прямой к положительной полуоси ОХ). Функция, описывающая эту прямую, будет иметь вид y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен tg α. Если прямая проходит через 2-ю и 4-ю координатные четверти, то k < 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 и функция возрастает.Пусть представляет собой прямую линию, располагающуюся различным образом относительно осей координат. Это линейная функция, и она имеет вид y = kx + b, где переменные x и y стоят в первой степени, а k и b могут принимать как положительные, так и отрицательные значения или равны нулю. Прямая параллельна прямой y = kx и отсекает на оси |b| единиц. Если прямая параллельна оси абсцисс, то k = 0, если оси ординат, то уравнение имеет вид x = const.
Кривая, состоящая из двух ветвей, располагающихся в разных четвертях и симметричных относительно начала координат, гиперболой. Этот график обратную зависимость переменной y от x и описывается уравнением y = k/x. Здесь k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. При этом если k > 0, функция убывает; если же k < 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Квадратичная функция имеет вид y = ax2 + bx + с, где a, b и c – величины постоянные и a 0. При выполнении условия b = с = 0, уравнение функции выглядит, как y = ax2 (простейший случай ), а ее график является параболой, проходящей через начало координат. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же форму, что и простейший случай функции, однако ее вершина (точка пересечения с осью OY) лежит не в начале координат.
Параболой является также график степенной функции, выраженной уравнением y = xⁿ, если n – любое четное число. Если n - любое нечетное число, график такой степенной функции будет иметь вид кубической параболы.
В случае, если n – любое , уравнение функции приобретает вид. Графиком функции при нечетном n будет гипербола, а при четном n их ветви будут симметричны относительно оси ОУ.
Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.
Инструкция
Если представленным графиком является , которая через начало координат и с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.
Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой , а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или .
Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.
Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.
Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.
Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид .
Видео по теме
Координата абсолютно любой точки на плоскости определяется двумя ее величинами: по оси абсцисс и оси ординат. Совокупность множества таких точек и представляет собой график функции. По нему вы видите, как меняется значение Y в зависимости от изменения значения Х. Также вы можете определить, на каком участке (промежутке) функция возрастает, а на каком убывает.
Инструкция
Что можно сказать о функции, если ее график представляет собой прямую линию? Посмотрите, проходит ли эта прямая через точку начала отсчета координат (то есть, ту, где величины Х и Y равны 0). Если проходит, то такая функция описывается уравнением y = kx. Легко понять, что чем больше будет значение k, тем ближе к оси ординат будет располагаться эта прямая. А сама ось Y фактически соответствует бесконечно большому значению k.
Горкунова Ольга Михайловна
http://gorkunova.ucoz.ru
1. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1. a > 0 (ветви параболы – вверх), |
|||||||
2. Найдемнули функций(точки |
|||||||
пересечения графика с осью Ох): |
|||||||
1) х2 – х = 0, | 3) х2 + х = 0 |
||||||
х (х – 1) =0, | |||||||
Ответ: 3) | |||||||
3. Сравниваемнули с графиком
2. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1. k < 0 | |||||||
(ветви гиперболы – во 2 и 4 четвертях), |
|||||||
тогда рассматриваем 1) и 3) функции; |
|||||||
2. Выберем на графике произвольную |
|||||||
точку, например: А (1; -2) | |||||||
Ответ: 1) | в 1) и 3) уравнение: | ||||||
2 (верно) | 3) 2 | (неверно) |
|||||
3. Найти значение a по графику функции у = ах2 + bx + c
y = a (x – m)2 + n
(m; n) – вершина параболы
1. (m; n) = (-1; 2) - вершина
2. Подставим значения в уравнение:
a (0 + 1)2 + 2 =3 а = 3 – 2а = 1
4. Найти значение b по графику функции у = ах2 + bx + c
Формула абсциссы параболы:
Уравнение параболы у = ax 2 + bx + c запишем в другом виде:
y = a (x – m)2 + n
(m; n) – вершина параболы Поиск:
1. Сначала найдем коэффициента
(m; n) = (-1; 2) - вершина
(х ; у ) = (0 ; 3 ) – точка параболы
a (0 + 1)2 + 2 =3
а = 3 – 2
а = 1
2. b = - 2. 1. (-1) = 2 |
||
5. Найти значение c по графику функции у = ах2 + bx + c
(0; c ) – точка пересечения параболы с осью Оу
Ответ: с = 3
у = ах2 + bx + c
Примечание: не всегда возможно назвать ординату точки пересечения с Оу.
Поиск значения с:
коэффициент а |
|
коэффициент b (смотри задачи выше) |
|
с находим из уравнения |
|
у = ах2 + bx + c |
6. Найдите значение k по графику функции y k x ?
1. k < 0
(ветви гиперболы – во 2k и 4 четвертях),
2. Выберем на графике произвольную точку, например:А (1; -2)
3. Подставим координаты точки А |
||||
в уравнение y k | ||||
k = x. y = 1. (-2) = -2 | ||||
7. Укажите номер рисунка, на котором изображён график функции
у = х 2 – 2х + 3
1. a > 0 (ветви параболы – | ||||
вверх), | ||||
тогда рассматриваем | ||||
1) и2) рисунки; | ||||
2. Выберем на графиках | ||||
произвольную точку, | ||||
Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.
Методическая разработка Сагнаевой А.М.
МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .
Ι. Нахождение коэффициента а
- по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
2. по графику параболы определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )
3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
у=a(х-m)2+n
4. решаем полученное уравнение.
А(х 1 ;у 1 )
парабола
ΙΙ. Нахождение коэффициента b
1. Сначала находим значение коэффициента a
2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a
3. Вычисляем значение коэффициента b .
А(х 1 ;у 1 )
парабола
ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c
1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.
2. Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты a,b
(см. шаги Ι, ΙΙ)
3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1; у 1 ) в уравнение
у=ax 2 +bx+c и находим с.
А(х 1 ;у 1 )
парабола
Задачи
подсказка
Ιх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с Ответ: 5 с х 1 х 2 " width="640"
- Ветви параболы направлены вниз,
- Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
- Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с
х 1
х 2
П Подсказка
0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Ответ: 5 " width="640"
1.Ветви параболы направлены вниз, значит а
- x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.
0 , т.к. ветви параболы направлены вверх; 2. с=у(0)3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу: при этом а 0, следовательно, b4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках. " width="640"
На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.
Решение:
1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;
3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:
при этом а 0, следовательно, b
4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.
На рисунке изображена парабола
Укажите значения k и t .
Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.
Найдите, где - абсциссы точек пересечения
параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).
